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的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.若15ABm，25ACm，30BCM的最大值为____________.
，则tan
【答案】
【解析】∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°，∴BC=20cm，过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=
， 设BP′=x，则CP′=20﹣x，由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=
（20﹣x），在直角△ABP′中，AP′=
，
∴tanθ=•，令y=，则函数在x∈[0，20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为=．
若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=（20+x），在直角△ABP′中，AP′=，∴tanθ=•，
令y=，则y′=0可得x=时，函数取得最大值，故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【2014年浙江卷（理18）】（本小题满分14分） 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知ab，3c，
22coscos3sincos3sincosABAABB. ⑴求角C的大小；
⑵若4
sin5
A，求ABC的面积.
解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2
A﹣cos2
B=
sinAcosA﹣sinBcosB，
∴
﹣
=
sin2A﹣
sin2B，
即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2
•cos（A+B）sin（A﹣B）． ∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=
，∴C=
．
（Ⅱ）∵sinA=＜，C=
，∴A＜
，或A＞
（舍去），∴cosA=
=．
由正弦定理可得，
=
，即 =，∴a=．
∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=
，
∴△ABC的面积为 =×=
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【2014年浙江卷（理19）】（本小题满分14分）已知数列{}na和{}nb满足*12(2)()nb
naaanN.若{}na为等比数列，且12a设*11
()nnn
cnNab
.记数列{}nc的前n项和为nS. ①求nS；
②求正整数k，使得对任意*
nN，均有knSS.
解：（Ⅰ）∵a1a2a3…an=（n∈N*
326bb. ⑴求na与nb； ⑵
，
） ①，当n≥2，n∈N*
时， ②，
由①②知：
，令n=3，则有
．∵b3=6+b2，∴a3=8．
∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则=4，由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．
∴
（n∈N*
）．又由a1a2a3…an=
（n∈N*
）得：
，
，∴bn=n（n+1）（n∈N*
）．
（Ⅱ）（i）∵cn==
=
．
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn==
==
；
（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，
，
而=
＞0，得，
所以，当n≥5时，cn＜0，综上，对任意n∈N*
恒有S4≥Sn，故k=4 【2014年浙江卷（理20）】（本小题满分15分）
如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，
90CDEBED，2ABCD，1DEBE，2AC.
⑴证明：DE平面ACD； ⑵求二面角BADE的大小.
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证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2
，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD； 作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AB交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所
以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2
，得BD⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD． 在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=； 在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=； 在Rt△ABD中，由BD=
，AB=2，AD=
得BF=
，AF=AD，从而GF=， 在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=
，BC=．
在△BFG中，cos∠BFG==， 所以，∠BFG=
，二面角B﹣AD﹣E的大小为
【2014年浙江卷（理21）】(本小题满分15分)
如图，设椭圆C：22
221(0)xyabab
，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.
⑴已知直线l的斜率为k，用a、b、k表示点P的坐标；
⑵若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离的最大值为ab解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由
，消去y得
（b2
+a2k2
.
）x2
+2a2
kmx+a2m2
﹣a2b2
=0．
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2
=0，解得点P的坐标为 （﹣
，
），
又点P在第一象限，故点P的坐标为P（，）．
（Ⅱ）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离
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d=，
整理得：d=，
因为a2k2
+
≥2ab，所以≤=a﹣b，当且仅当k2
=时等号成立．
所以，点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b
【2014年浙江卷（理22）】（本小题满分14分）
已知函数3
()3||()fxxxaaR.
⑴若()fx在[1，1]上的最大值和最小值分别记为()Ma、()ma，求()()Mama； ⑵设bR，若2[()]4fxb=x3
对[1x
，1]恒成立，求3ab的取值范围. 解：（Ⅰ）∵f（x）
+3|x﹣a|=
，
∴f′（x）=，
①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数， ∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a， ∴M（a）﹣m（a）=8；
②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x3+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x3
﹣3x﹣3a，在（﹣1，a）上是减函数，
∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a3
， ∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，
∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a3
﹣3a+4； ＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a3+3a+2； ③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数， ∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a， ∴M（a）﹣m（a）=4；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h′（x）=，
∵[f（x）+b]2
≤4对x∈[﹣1，1]恒成立， ∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立， 由（Ⅰ）知，
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①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；
②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a3
+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a3
+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2，
令t（a）=﹣2﹣a3
+3a，则t′（a）=3﹣3a2
＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2， ∴﹣2≤3a+b≤0；
③＜a＜1时，最小值h（a）=a3
+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a3
+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣
＜3a+b≤0；
④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥
﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0． 综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．
