数学与应用数学论文

目录

摘要………………………………………………………………………………1 前言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 一、样本采集与问题分析...........................3 二、模型建立与求解...............................4 2.1 确定实测指标隶属度矩阵和标准指标隶属度矩阵...4 2.2 确定权重向量.................................4 2.3 模糊模式识别评价模型的建立...................5 三、应用举例.....................................6 3.1 水质监测数据及分级标准.......................6 3.2 构造隶属度矩阵...............................6 3.3 计算评价指标的权重...........................7 3.4 模型建立与求解...............................7 四、模型的评价...................................8 结 论..........................................9 参考文献.........................................9

摘要

近年来,湖泊水质富营养化现象越来越严重,介于富营养化等级的模糊性,本文采用模糊数学中的模糊模式识别算法对烟台门楼水库的水质富营养化程度进行了评价.将标准等级中的五个级别的水体作为标准模型库,以叶绿素а,总磷,总氮,透明度,高锰酸盐指数表征富营养化的指标为评价因子,且根据相对隶属度矩阵计算出了各个指标的权重,对待识别的对象即门楼水库5个测站的水体进行评价,评价等级分别为:5个测站的水体均处于中营养状态.并将其结果与用综合营养状态指数法所得的评价结果进行比较,说明此方法的稳定性.

关键词:富营养化 模糊数学 模糊模式识别算法 隶属度 权重

1

引言

地表水的富营养化问题已经引起国内外的高度关注.我国60%的天然淡水湖库均存在不同程度的富营养化现象.门楼水库是烟台市最主要的地表水源地,近年来,由于各种原因,有富营养化的趋势,給市区供水带来了很大的问题,水质富营养化成为门楼水库面临的重大生态环境问题.由于环境是一个多因素多层次的复杂系统.且在环境系统质量评价中存在着一些不甚明确的信息,如评价等级模糊等等,所以用模糊集理论对其进行综合评价显得更客观,更合理.模糊数学方法自美国1965年提出以来,已经有许多人将其成功的应用在水质评价中.本文选用模糊数学常用的算法中的模糊模式识别对门楼水库的水质进行综合评价.

2

一、样本采集与问题分析

本次试验取样点设在门楼水库入口、中上、中心、东南和出口.于2004年每月用有机玻璃采水器采样,按照国家最新颁布的标准分析方法及环境检测技术规范中规定的标准分析方法测定叶绿素а,总磷,总氮,透明度,高锰酸盐指数等水质指标.

模糊模式识别是指模型中须先有标准模型库,将待识别的对象在标准模型库中找出最接近者.根据文献[14]富营养状态指标与水质参数的关系,参照国内部分湖泊水质评价标准,将水体富营养化评价标准分为5个等级,即极贫营养,贫营养,中营养,轻富营养,重富营养.则得到标准模型库即为这五个等级的水体,待识别的对象即五个测站的水体,模型即评价这五个对象富营养化程度属于哪个级别.

3

二、模型建立与求解

2.1 确定实测指标隶属度矩阵和标准指标隶属度矩阵

设待识别的对象即n个测站的水体样本组成对象集Xx1,x2,应着个m指标组成指标集xjx1j,x2j,Xxijmnxn,每个对象都对

,xmjTj1,2,,n,于是有实测指标矩阵

,m项指标按c类标准模式分级,有指标标准矩阵Yyijmc.

由于项指标的量纲不都相同,在进行识别时要先消除量纲不同的影响,在此我们采用隶属度进行描述.规定:其1级标准值对模糊集极贫营养的隶属度为0, c级标准值的隶属度为1,其余级别标准值的隶属度在[0,1]之间. 对于实测浓度值越大富营养化程度越重的指标,如叶绿素а,总磷,总氮, 高锰酸盐指数,公式如下:

0 xijyi1xijyi1rij yi1xiyic (1)

yyi1ic1 xiyic对实测浓度值越小富营养化程度越重的指标,如透明度,公式如下:

0 xijyicyi1xijrij yi1xiyic (2)

yyi1ic1 xiyi1根据上面的定义,可以得到实测指标隶属度矩阵Rrijmn和标准指标隶属度矩阵为

Ssijmc.

2.2 确定权重向量

由于项指标对水体富营养化的影响程度不完全相同,所以他们的权重不一样.设置权重的方法有很多种,可以用层次分析法,变异系数法等等.本文利用环境质量分数来确定指标的权重,即根据待识别对象的实测质量浓度和各级标准质量浓度计算.公式如下:

pijxijyii1,2,,m,j1,2,,n (3)

1c其中yiyij为第i项指标的各级标准值的平均值.再将pij归一化,即

cj1

4

wijpijpi1mi1,2,,m,j1,2,,n (4)

ij且满足wij1j1,2,i1m,n

wij即为第j个水体的第i项指标的权重.由于不同水体存在个别差异,而上式正好反映了不同对象的各指标权重是不同的,这样避免了只用一个权重划分对象指标的不合理之处,且更能反映实际情况.

2.3 模糊模式识别评价模型的建立

贴近度是两个模糊集贴近程度的度量.在此利用贴近度和择近原则来建立模型. 2.3.1 建立贴近度

现根据上面得到的矩阵Rrijmn和Ssijmc,有Ss1,s2,sc为c种标准模式,

Rr1,r2,rn为n个待识别对象,用加权海明贴近度计算如下:

1mHsi,rj1skirkjwkj (5)

mk1令dijHsi,rj,则对于所有n个待识别对象和c种标准模式可建立贴近度矩阵

Ddijcn.其中dij越大表示第j个对象越接近于第i个标准模式.则

1mdij1skirkjwkj (6)

mk1即为本文的模糊模式识别评价模型. 2.3.2 模糊模式识别模型的使用原则

模糊模式识别模型的使用原则有最大隶属度原则、择近原则.在此使用择近原则.择近原则的内容如下:

模糊集A1,A2,,An构成标准模型库. B是待识别的模糊集,用Ai,B表示模糊集

,An,B,则称B与Aj最

Ai和B的贴近度,若存在Aj,BmaxA1,B,A2,B,接近,即认为B相对属于Aj. 若dkjmaxd1j,d2j,矩阵Ddijcn描述了第j个对象越对于第i个标准模式的贴近程度,根据择近原则,

,dcj,则得到第j个对象相对属于第k个标准模式.即第j个水体

的富营养级别为k级.

5

三、应用举例

3.1 水质监测数据及分级标准

门楼水库的水质监测数据见表1

表1 门楼水库监测数据 水库测点 水库入口 水库中上 水库中心 水库东南 水库出口

叶绿素а/(mg·L) 总磷/(mg·L) 总氮/(mg·L) 2.807 1.907 1.022 1.112 1.845 0.018 0.017 0.015 0.016 0.016 8.78 8.80 8.53 8.66 8.55 -1-1-1透明度/m 2.29 2.50 2.53 2.45 2.42 高锰酸盐指数-1/(mg·L) 3.10 3.05 2.99 3.00 2.99 分级标准见表2.

表2 湖泊水质分级标准 极贫营养 贫营养 中营养 富营养 极富营养

叶绿素а/(mg·L) 总磷/(mg·L) 总氮/(mg·L) ≤1.0 2.0 4.0 32.0 ＞.0 ≤0.001 0.004 0.023 0.110 ＞0.66 ≤0.02 0.06 0.31 1.20 ＞4.60 -1-1-1透明度/m ≥37.0 12.0 2.4 0.55 ＜0.17 高锰酸盐指数-1/(mg·L) ≤0.09 0.36 1.80 7.1 ＞27.1 3.2 构造隶属度矩阵

2.807 1.907 1.022 1.112 1.845yXxij和指标标准矩阵Y由表1和表2写出实测指标矩阵.其中 550.018 0.017 0.015 0.016 0.016ij551.0 2.0 4.0 32.0 .08.78 8.80 8.53 8.66 8.55 X0.001 0.004 0.023 0.110 0.662.29 2.50 2.53 2.45 2.420.02 0.06 0.31 1.20 4.60 Y3.10 3.05 2.99 3.00 2.990.09 0.36 1.80 7.1 27.13.10 3.05 2.99 3.00 2.996

将矩阵Xxij55和Yyij55分别代入公式(1)和(2),得到实测指标隶属度矩阵

0.0287 0.0144 0.0003 0.0018 0.0134Rrij和标准指标隶属度矩阵Ssij,其中,

55550.0258 0.0243 0.0212 0.0228 0.02280 0.0159 0.0476 0.4921 1.0000 R1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00000 0.0048 0.0334 0.1654 1.00000.1114 0.1096 0.1074 0.1077 0.1074S0 0.0087 0.0633 0.2576 1.0000 381 0.930.9424 0.9367 0.9359 0.90 0.0100 0.0633 02595 1.00003.3 计算评价指标的权重 0 0.6788 0.9395 0.97 1.0000将表1中的实测值和表2中的标准值代入公式(3)和(4),得到5个测站水体的各项

2.807 1.907 1.022 1.112 1.845指标的权重向量组成的权重矩阵为

0.018 0.017 0.015 0.016 0.016X8.78 8.80 8.53 8.66 8.55

2.29 2.50 2.53 2.45 2.423.4 模型建立与求解 3.10 3.05 2.99 3.00 2.99将模糊矩阵Rrij55,Ssij55,Wwij55代入模型(6)中,得到5个测站水体与

2.807 1.907 1.022 1.112 1.8455个标准模式的贴近度矩阵为

0.018 0.017 0.015 0.016 0.016X8.78 8.80 8.53 8.66 8.55

2.29 2.50 2.53 2.45 2.42 3.10 3.05 2.99 3.00 2.99根据择近原则,得到5个测站的评价结果,见表3.

贴近度 测站 极贫营养 水库入口 水库中上 水库中心 水库东南 水库出口 0.8196 0.8187 0.8171 0.8172 0.8181 贫营养 0.8812 0.8806 0.8796 0.8797 0.8803 中营养 0.9804 0.9813 0.9829 0.9828 0.9819 富营养 0.9222 0.9215 0.9213 0.9216 0.9216 极富营养 0.9103 0.9094 0.9085 0.90 0.9095 中营养 中营养 中营养 中营养 中营养 评价结果 从表中可看出,门楼水库的5个测站均处于中营养状态.

7

四、模型的评价

为了评价此方法用于水质富营养化评价的稳定性,现将综合营养状态指数法所得的评价结果与其进行对比,见表4.

评价结果 测站 综合营养状态指数法 水库入口 水库中上 水库中心 水库东南 水库出口

从表中可看出,用模糊数学的模糊模式识别算法的评价结果与用综合营养状态指数法所得的结果一致,因此模糊数学可用于湖泊水质富营养化的评价,且方法稳定.

在此模型中,首先将水体的实际监测值采用隶属度进行了无量纲化,消除了量纲的影响,对于此后建立模型奠定了基础.在求5个水质评价指标的权重时,由于不同水体存在个别差异,对于不同水体采用了不同的权重向量,避免了层次分析法,变异系数法等只用一个权重划分指标的不合理之处.

中营养 中营养 中营养 中营养 中营养 模糊模式识别算法 中营养 中营养 中营养 中营养 中营养

8

体会

通过模糊模式识别评价模型的建立，得到了很有价值的结论经历。通过“问题情境—建立模型—解释应用与拓展”的过程，学会综合运用所学知识和方法解决简单实际问题，获得运用数学解决问题的思考方法。由此看到了中学数学建模的重要性，将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，我们以后还要用更多的数学模型去解决别的问题。数学模型在生活中用途是很广泛的，我们要多发现它、利用它。

参考文献

[1]斯皮格尔（Spiegel,M.R．）等著，杨纪龙等译. 统计学[M]．北京：科学出版社，2002. [2] 李仲斐. 学生评教工作探索与实践[J]. 哈尔滨学院学报，2002,23（2）：37-41． [3] 郭亚军.综合评价理论与方法[M]．北京：科学出版社，2002.

[4] 黄义弘，黄文钰.数据库系统原理与设计[M]．北京：清华大学出版社，2005.5． [5] 佚名.一种基于多因素综合评价思想的评教数据处理模型的研究[Z]

9