初中数学试卷

初中数学试卷（一） 第一部分 选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 2

1 １．下列各数中，最大的数是（ ）

（Ａ）－５ （Ｂ）０ （Ｃ）１ （Ｄ）－２ 图1 ２．如图１，下列关系正确的是（＊）

（Ａ）∠２＜∠１ （Ｂ）∠２＞∠１（Ｃ）∠２≥∠１ （Ｄ）∠２＝∠１ ３．下列计算正确的是（＊）

06231

（Ａ）23＝０ （Ｂ）3＝－3 （Ｃ）xxx （Ｄ）(a)a

326４．计算并化简82的结果为（＊）

D C

（Ａ）16 （Ｂ）4 （Ｃ）４（Ｄ）１６ ５．方程

2x20的解是（＊） x1x1A 图2

B

（Ａ）x＝２ （Ｂ）x＝－２ （Ｃ）x＝１ （Ｄ）x＝－１

６．如图２，已知菱形ＡＢＣＤ的周长为１２，∠Ａ＝６０°，则ＢＤ的长为（＊） （Ａ）３ （Ｂ）４ （Ｃ）６ （Ｄ）８

７．图３所示的几何体是由三个同样大小的立方体搭成的，其俯视图为（＊） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 图3

８．如图４，△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１，ＢＣ＝3，A 则∠Ｂ的度数为（＊）

C B

（Ａ）２５° （Ｂ）３０° （Ｃ）４５° （Ｄ）６０°

图4

２

９．抛物线y＝x＋４x－１的对称轴、顶点坐标分别为（＊）

（Ａ）直线x＝４、（４，－１） （Ｂ）直线x＝２、（２，－１） （Ｃ）直线x＝２、（４，－５） （Ｄ）直线x＝－２、（－２，－５）

１０．若把点Ａ（－５m，２m－１）向上平移３个单位后得到的点在x轴上，则点Ａ在（＊） （Ａ）x轴上 （Ｂ）第三象限 （Ｃ）y轴上 （Ｄ）第四象限

第二部分 非选择题（共120分）

A

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） １１．不等式x－２≤０的解集是 ＊ ．

B D E C

图5

1

龙文教育招聘试卷 Long Wen Education

１２．如图５，Ｄ、Ｅ分别在△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上，且ＡＤ＝

Ｃ，ＤＥ＝４，则ＢＣ＝ ＊ ．

１３．一元二次方程x2x8＝０的两个根x１＝ ＊ ，x２＝ ＊ ，根的判别式⊿＝ ＊ ．

１４．如图６，Ｅ为正方形ＡＢＣＤ内一点，把△ＢＥＡ绕着点Ａ旋转到

△ＤＦＡ的位置，则∠ＦＡＥ＝ ＊ °．

D C

21ＡＢ，ＡＣ＝２Ｅ242x2y１５．计算并化简：()＝ ＊ ．

xyxy１６．Ｐ１（x１，y１），Ｐ２（x２，y２），Ｐ３（x３，y３）分别是反比例函

E F A 图6

B 数y＝（k＞０）图象上的三个点，且x１＜x２＜０＜x３，请用不等号表示出y１、y２、y３之间的大小关系： ＊ ．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

１７．（本小题满分９分）

kxxy2解方程组：

3x2y6

１８．（本小题满分9分）

D A

已知：如图７，点Ｅ、Ｆ在ＢＣ上，ＢＥ＝ＣＦ，

O ∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｂ＝∠Ｃ，ＡＦ与ＤＥ交于点Ｏ．

（１）求证：ＡＢ＝ＤＣ；

（２）△ＯＥＦ的形状为 ＊ ．

B E F C

图7

１９．（本小题满分１０分）

小强对本班同学上学的交通方式进行了一次调查，他根据采集的数据，绘制了下面的统计图（图８和图９）． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

2

龙文教育招聘试卷 Long Wen Education

（１）本班学生共有 ＊ 人；

（２）计算本班步行上学的人数，并补全统计图8；

（３）在统计图9中，“其他”学生占全班人数的百分比为 ＊ ％，求出“乘车”部

分所对应的圆心角的度数．

人数

1816 骑车1436% 乘车12 108步行 其他6 42 交通图9

方式 乘车骑车步行其他 图8

２０．（本小题满分１0分） y 一条不经过第二象限的直线与反比例函数y＝

kx的图象交于点Ｐ（３，２），该直线与x轴所夹的锐角为４５°．

（１）求反比例函数的解析式；

（２）根据题意，在图10所给的坐标系中画出直

线的图象，并求出这条直线的函数解析式； （３）在图10中画出该直线关于y轴对称的图形．

1 O

1

x 图10

21．（本小题满分１0分）

如图１１，已知，Ａ、Ｂ、Ｃ为圆上的三点，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＤ与ＡＣ的延长线交于点Ｄ，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝６，∠Ｄ＝∠ＡＢＣ． （１）求ＡＣ的长；

3

DCAB图11

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（２）求证：ＢＤ是圆的切线； （３）求ＣＤ的长．

22．（本小题满分12分）

自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息： 职工 甲 乙 月销售件数（件） 200 180 月工资（元） 1800 1700 （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？

E FD M２3．（本小题满分１２分）

如图１２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＥ、ＢＦ分别平

BA分∠ＤＡＢ和∠ＡＢＣ，交ＣＤ于点Ｅ、Ｆ，ＡＥ、ＢＦ相交于点图12Ｍ．

（１）求证：ＡＥ⊥ＢＦ；

（２）求证：点Ｍ在ＡＢ、ＣＤ边中点的连线上．

２4．（本小题满分１４分）

如图１３，Ｒt△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝２，点Ｄ为ＢＣ边上的动点（Ｄ不与Ｂ、Ｃ重合），∠ＡＤＥ＝４５°，ＤＥ交ＡＣ于点Ｅ．

C4

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（１）∠ＢＡＤ与∠ＣＤＥ的大小关系为 ＊ ．请

证明你的结论；

（２）设ＢＤ＝x，ＡＥ＝y，求y关于x的函数关系式，

并写出自变量x的取值范围；

（３）当△ＡＤＥ是等腰三角形时，求ＡＥ的长；

（４）是否存在x，使△ＤＣＥ的面积是△ＡＢＤ面积的

２倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．

A

E

B

D 图13

C

25．（本小题满分14分）

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令

AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ B 图12-①

A A M O P C B N M O A N B P 图12-③

M O N C D 图12-②

C

5

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初中数学试卷（一答案）

一、选择题 题 号 １ 答 案 Ｃ ２ Ｂ ３ Ｄ ４ Ｃ ５ Ａ ６ Ａ ７ Ｃ ８ Ｂ ９ Ｄ １０ Ｄ 二、填空题 题 号 １１ １２ 答 案 x≤２ ８ １３ －２，４，３６ １４ １５ ９０ －２ １６ y３＞y１＞y２ 三、解答题 １７．（本小题满分９分）

xy2 (1)解法一：

3x2y6 (2)由（1）得：x＝y＋２ （3）………………………………………………２分 把（3）代入（2），得：３（y＋２）＋２y＝６，……………………………４分 解得y＝０，………………………………………………………………………６分 把y＝０代入（3），得x＝２，…………………………………………………７分

x2∴…………………………………………………………………………９分 y0xy2 (1)解法二：

3x2y6 (2)（1）×２得：２x－２y＝４ （3），………………………………………２分

（3）＋（2），……………………………………………………………………４分 得：５x＝１０，x＝２，………………………………………………………６分 把x＝２代入（1），解得y＝０，………………………………………………７分

x2∴…………………………………………………………………………９分

y0

１８．（本小题满分9分） （１）证明：∵ＢＥ＝ＣＦ，

∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋ＥＦ，………………………………………………２分 即ＢＦ＝ＣＥ．………………………………………………………………３分 在△ＡＢＦ和△ＤＣＥ中

ADBC，………………………………………………………………５分 BFCE∴△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ（ＡＡＳ），………………………………………６分

6

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∴ＡＢ＝ＤＣ；………………………………………………………………８分 （２） 等腰三角形 ．…………………………………………………１０分

１９．（本小题满分１０分）

解：（１）５０；………………………………………………………………２分 （２）５０－１２－１８－６＝１４（人）．………………………………３分 本班步行上学人数为５０；…………………………………………………４分 图（略）………………………………………………………………………６分 （３）１２，…………………………………………………………………７分 １２÷５０＝２４％，３６０°×２４％＝８６.４°．…………………９分 ∴“乘车”部分所对应的圆心角的度数为８６.４°．…………………１０分

２０．（本小题满分１0分）

k解：（１）∵y＝的图象经过点Ｐ（３，２），

xk把x＝３，y＝２人代入y＝中，…………………………………………１分

xk∴得２＝，即 k＝６，……………………………………………………２分

36∴反比例函数的解析式为：y＝；…………………………………………３分

x

（２）如下图，过点Ｐ画与x轴夹角为４５°的直线．……………………５分 设其与x轴的交点为Ｂ．

过Ｐ点作ＰＡ⊥x轴，垂足为Ａ，

则ＰＡ＝２，Ａ的坐标为（３，０）．………………………………………６分 在Ｒt△ＡＢＰ中，∵∠ＡＢＰ＝４５°， ∴∠ＡＰＢ＝４５°，∴ＡＢ＝ＡＰ＝２， ＯＢ＝ＯＡ－ＡＢ＝３－２＝１，

∴点Ｂ的坐标为（１，０）．…………………………………………………８分分 设直线的解析式为y＝k x＋b，………………………………………………９ 把Ｐ（３，２）及Ｂ（１，０）的坐标代入y＝k x＋b，

3kb2得，………………………………………………………………１０分

kb0解得k＝１，b＝－１．………………………………………………………１１分 ∴这条直线的解析式为：y＝x－１；………………………………………１２分 （３）图略．…………………………………………………………………１４分

7

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y P(3,2) 1 B O x 1 A

图2

２１．（本小题满分１０分） （１）解：∵∠ＡＣＢ＝９０°，

∴△ＡＢＣ为直角三角形．……………………………………………………１分 由勾股定理，

得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２，……………………………………………………２分 ∴ＡＣ＝AB2BC2＝８；………………………………………………３分 （２）由∠ＡＣＢ＝９０°，可得ＡＢ是圆的直径．………………………５分 ∵∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＢ＝９０°，

∴∠Ｄ＋∠ＤＢＣ＝９０°，…………………………………………………６分 又∵∠Ｄ＝∠ＡＢＣ，

∴∠ＡＢＣ＋∠ＤＢＣ＝９０°，……………………………………………７分 即∠ＡＢＤ＝９０°，…………………………………………………………８分 ∴ＢＤ是圆的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）；……９分 （３）∵∠Ｄ＝∠ＡＢＣ，∠Ａ为公共角，

∴△ＡＤＢ∽△ＡＢＣ，……………………………………………………１０分

AB2ADAB∴，∴ＡＤ＝＝１２.５，………………………………１１分 ACABACＣＤ＝ＡＤ－ＡＣ＝１２.５－８＝４.５．………………………………１２分

［也可通过Ｒt△ＢＤＣ∽Ｒt△ＡＢＣ求得ＣＤ］

22．（12分）

解：（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元1分

x200y1800由题意得 ··················· 5分

x180y17008

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x800解这个方程组得 ··················· 7分

y5答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元.··· 8分

（2）设该公司职工丙六月份生产z件产品 ·············· 9分

由题意得8005z≥2000 ··················· 10分 解这个不等式得z≥240 ··················· 11分 答：该公司职工丙六月至少生产240件产品 ············· 12分

23．（本小题满分１２分）

（１）证明：如下图，∵ＡＥ、ＢＦ分别平分∠ＤＡＢ和∠ＡＢＣ，

∴∠１＝∠２，∠３＝∠４，………………………………………………１分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＢ＋∠ＣＢＡ＝１８０°，……………………２分 即（∠１＋∠２）＋（∠３＋∠４）＝１８０°， ２∠２＋２∠３＝１８０°，

∴∠２＋∠３＝９０°，……………………………………………………３分 而∠２＋∠３＋∠ＡＭＢ＝１８０°，

∴∠ＡＭＢ＝９０°，………………………………………………………４分 即ＡＥ⊥ＢＦ；

（２）设ＡＢ、ＣＤ的中点分别为Ｇ、Ｈ（如下图），…………………５分 连结ＭＧ，∵Ｍ为Ｒt△ＡＢＭ斜边ＡＢ的中点，………………………６分 ∴ＭＧ＝ＡＧ＝ＧＢ，……………………………………………………７分 ∴∠２＝∠５，……………………………………………………………８分 又∵∠１＝∠２，∴∠１＝∠５，∴ＧＭ∥ＡＤ．……………………９分 ∵已知ＡＤ∥ＢＣ，即四边形ＡＢＣＤ是以ＡＤ、ＢＣ为底的梯形， 又Ｇ、Ｈ分别为两腰ＡＢ、ＤＣ的中点，

由梯形中位线定理可知，ＧＨ∥ＡＤ，而证得ＧＭ∥ＡＤ，…………１０分 根据平行公理可知，过点Ｇ与ＡＤ平行的直线只有一条，……………１１分 ∴Ｍ点在ＧＨ上，即Ｍ点在ＡＢ、ＣＤ边中点的连线上．……………１２分

C

EFH

D M5 1 3 4 2

BAG

24．（本小题满分１４分）

解：（１）相等；………………………………………………………………１分 证明如下：∵∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°．如图１，

9

龙文教育招聘试卷 Long Wen Education

∵∠１＋∠Ｂ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，

∴∠１＋∠ＡＤＢ＝１８０°－∠Ｂ＝１３５°． 又∵∠２＋∠ＡＤＥ＋∠ＡＤＢ＝１８０°，

∴∠２＋∠ＡＤＢ＝１８０°－∠ＡＤＥ……………………………………２分 ＝１８０°－４５°＝１３５°， 即∠１＋∠ＡＤＢ＝∠２＋∠ＡＤＢ，

∴∠１＝∠２；…………………………………………………………………３分

A

1 E 2 C B D

图1

（２）由（１）知∠１＝∠２，又∵∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°，

∴△ＤＣＥ∽△ＡＢＤ．………………………………………………………４分 若ＢＤ＝x，则ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝２2－x， 由△ＤＣＥ∽△ＡＢＤ得

CE22xCECD，即， x2BDAB1ＣＥ＝（２2－x）x，

21＝－x2＋2x，………………………………………………………５分

21y＝ＡＥ＝ＡＣ－ＣＥ＝２－（－x2＋2x）

21∴y＝x2－2x＋２，…………………………………………………………６分

2其中０＜x＜２2；………………………………………………………………７分 （３）解：∵点Ｄ不能与Ｂ点重合，∴ＡＤ＝ＡＥ不能成立…………………８分 （或：∵∠ＡＤＥ＝４５°，若ＡＤ＝ＡＥ，

则∠ＡＥＤ＝ＡＤＥ＝４５°，从而∠ＤＡＥ＝９０°， 即Ｂ与Ｄ重合，这与已知条件矛盾）．

①当ＡＥ、ＤＥ为腰，即ＡＥ＝ＤＥ时（如图２），

∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ＝４５°，此时，ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴Ｄ为ＢＣ边的中点（“三线合一”性质）， 且Ｅ也为ＡＣ边的中点，∴ＡＥ＝１；…………………………………………９分 ②当ＡＤ、ＤＥ为腰，即ＡＤ＝ＤＥ时（如图３），

由（１）△ＡＢＤ∽△ＤＣＥ知，此时ＡＤ与ＤＥ为对应边，

10

龙文教育招聘试卷 Long Wen Education

∴△ＡＢＤ≌△ＤＣＥ，ＤＣ＝ＡＢ＝２， ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝２2－２，ＡＥ＝ＡＣ－ＥＣ

＝２－ＢＤ＝２－（２2－２）＝４－２2；……………………………１０分

综上所述，当△ＡＤＥ是等腰三角形时，

ＡＥ的长为１或４－２2；……………………………………………………１１分 A A E

E

C D B C B D 图3 图2

（４）不存在．……………………………………………………１２分 原因如下：∵△ＤＣＥ∽△ＡＢＤ，若△ＤＣＥ的 面积是△ＡＢＤ面积的２倍，则从而

SSCDEABD＝２，

CE1＝2，ＣＥ＝2ＢＤ，－x2＋2x＝2x， BD2解得x＝０，即ＢＤ＝０，就是说Ｄ点与Ｂ点重合，…………………………１３分

这与已知条件矛盾，

A ∴不存在x，使△ＤＣＥ的面积是△ＡＢＤ面积的２倍．……………………１４分

N M O 25．(本小题满分14分)

解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

P B 图1

xANAMAN43． ABAC∴ ，即

∴ AN＝

C 3x． ……………………………………………………………2分 4133SMNPSAMNxxx2248．（0＜x＜4） ……………………4分 ∴ S=

1（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

2在Rt△ABC中，BC ＝ABAC=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

M O 11

22A N B Q D 图 2

C 龙文教育招聘试卷 Long Wen Education

xMNAMMN45． ABBC∴ ，即

5x4∴ ， 5ODx8． ……………………………………………………………6分 ∴

5MQODx8． 过M点作MQ⊥BC 于Q，则

MN在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

BMQMBCAC． ∴

55x25825xABBMMAxx4BM24324，即∴ ．

96∴ x＝．

4996∴ 当x＝时，⊙O与直线B C相切．…………………………………………8分

49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点． ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． A ∴ △AMO ∽ △ABP．

AMAO1O M ∴ ABAP2． AM＝MB＝2． 故以下分两种情况讨论：

3B E F ySΔPMNx2P 8． ① 当0＜x≤2时，

∴ 当x＝2时，

② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． ∴

又△PEF ∽ △ACB．

2N C y最大3322.82 …………………………………………10分

图 3

PFx4x2x4．

SPEFPFABSABC． ∴

32SPEFx22∴ ． ………………………………………… 11分

323922xx2x6x6ySMNPSPEF828＝．……………………12分

12

龙文教育招聘试卷 Long Wen Education

989yx26x6x2838当2＜x＜4时，．

8x3时，满足2＜x＜4，y最大2． ∴ 当

2综上所述，当x83时，y值最大，最大值是2． ……………………………14

分

13