2019年株洲市初三数学上期中试题(附答案)

一、选择题

1．若x1是方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则M与N的大小关系为( ) A．M＞N

B．M＝N

C．M＜N

D．不能确定

2．下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A．

B．

C．

D．

3．若α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ） A．2020 A．(3，4)

B．2019 B．(－3，4)

C．2018 C．(3，－4)

D．2017 D．(2，4)

4．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )

5．如图，RtVAOB中，ABOB，且ABOB3，设直线xt截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的( )

A． B． C． D．

6．如图，是两条互相垂直的街道，且A到B,C的距离都是7 km,现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4km/h，则两人之间的距离为5km时，是甲出发后（ ）

A．1h B．0.75h C．1.2h或0.75h D．1h或0.75h

7．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝( )

A．1∶2 是 （ ） A．

B．1∶2

C．3∶2 D．1∶3

8．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率

1 20B．

19 100C．

1 4D．以上都不对

9．一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根

2B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根

D．没有实数根

10．如图,函数yax2x1和yaxa(a是常数,且a0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

11．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A．AB=CD A．-41

B．AB=BC B．-35

C．AC⊥BD C．39

D．AC=BD D．45

12．若a，b为方程x25x10的两个实数根，则2a23ab8b2a的值为（ ）

二、填空题

13．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 14．已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k的值为__________． 15．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=_______度．

16．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．

17．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根，则k应满足的条件是_____. 18．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；

19．Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．

20．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°．连接AC，则∠A的度数是_____°．

三、解答题

21．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

22．2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．

(1)李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？

(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．

23．已知关于x的一元二次方程x2(a1)xaa20有两个不相等的实数根x1，

22x2.

（1）若a为正整数，求a的值；

22（2）若x1，x2满足x1x2-x1x216，求a的值.

24．已知关于x的方程x2axa20.

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 25．已知抛物线y=-x2-2x+c与x轴的一个交点是(1,0)． （1）C的值为_______；

（2）选取适当的数据补填下表，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像；

x ••• ••• 1 1 0 ••• ••• y

（3）根据所画图像，写出y>0时x的取值范围是_____．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得． 【详解】

∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根， ∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c， 则M-N=（ax1+1）2-（2-ac） =a2x12+2ax1+1-2+ac =a（ax12+2x1）+ac-1 =-ac+ac-1

=-1， ∵-1＜0， ∴M-N＜0， ∴M＜N． 故选C． 【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．

2．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】

解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意； C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意； D、不是中心对称的图形，不合题意． 故选C． 【点睛】

本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得． 【详解】

解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根， ∴α+β＝1、α2﹣α＝2018， 则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3 ＝2018﹣2+3 ＝2019， 故选：B． 【点睛】

考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．

4．A

解析：A

【解析】

2根据ya(xh)k 的顶点坐标为(h,k) ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是

（3，4）.故选A.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象． 【详解】

解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3， ∴∠AOB=∠A=45°， ∵CD⊥OB， ∴CD∥AB， ∴∠OCD=∠A， ∴∠AOD=∠OCD=45°， ∴OD=CD=t， ∴S△OCD=

111×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）． 222故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象； 故选D． 【点睛】

本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

据题画出图形如图，设走了x小时，则BF=AG=4x，AF=7－4x，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案. 【详解】

解：如图，设走了x小时，根据题意可知：BF=AG=4x，则AF=7－4x，根据勾股定理，得

74x4x2225，即4x27x30.解得：x11，x23. 4

故选D. 【点睛】

本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠

ABP′=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′，

在△ABP和△CBP′中，∵BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC， ∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP=P′C， ∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A，连接PP′， 则△PBP′是等腰直角三角形， ∴∠BP′P=45°，PP′=2PB，

=90°∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°﹣45°， ∴△APP′是直角三角形，

设P′A=x，则AP=3x，根据勾股定理，PP′=22AP2P'A2=(3x)x=22x，

∴PP′=2PB=22x，解得PB=2x，∴P′A：PB=x：2x=1：2． 故选B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度的2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．

8．C

解析：C 【解析】

解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是

251， 故选C． 1004点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案． 【详解】 x2+2x+2=0， 这里a=1，b=2，c=2， ∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0， ∴方程无实数根， 故选D. 【点睛】

此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键

10．B

解析：B 【解析】

分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．

详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；

B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣

2＞0．故选项正确； 2a2＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； 2a C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣

D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选B．

点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐

标等．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等． 【详解】 添加AC=BD，

∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， ∴四边形ABCD是矩形， 故选D． 【点睛】

考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把2a23ab8b2a变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案． 【详解】

∵a，b为方程x25x10的两个实数根， ∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1， ∴2a23ab8b2a =2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2 =2×0+3×5+2 （-1）+8×=39． 故选：C． 【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=关键．

bcx2=；熟练掌握韦达定理是解题，x1·

aa二、填空题

13．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π

解析：15π 【解析】

【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.

【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4， ∴母线l=r2h25，

11×2πr×5=×2π×3×5=15π， 22故答案为15π.

∴S侧=

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.

14．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程通过解新方程来求k的值【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了

解析：2 【解析】 【分析】

把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值． 【详解】

∵方程x2+kx−3=0的一个根为1， ∴把x=1代入，得 12+k×1−3=0， 解得，k=2. 故答案是：2. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用.

15．【解析】试题分析：解：连接OD∵CD是⊙O切线∴OD⊥CD∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD∴AB⊥OD∴∠AOD=90°∵OA=OD∴∠A=∠ADO=45°∴∠C=∠A=45°故答案为45考

解析：【解析】

试题分析：解：连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．

考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质．

16．135°【解析】分析：如图连接EC首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB即可解决问题详解：如图连接EC∵E是△ADC的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC和△AEB中∴△

解析：135°． 【解析】

分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题. 详解：如图，连接EC．

∵E是△ADC的内心，

1∠ADC=135°， 2在△AEC和△AEB中，

+∴∠AEC=90°

AEAEEACEAB， ACAB∴△EAC≌△EAB， ∴∠AEB=∠AEC=135°， 故答案为135°．

点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

17．k≤且k≠0；【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定答即可【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0解得k≤且k≠0故

解析：k≤【解析】

4且k≠0； 3【分析】

利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定答即可. 【详解】

∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3＝0有实数根， ∴△=(-4)2-4k×3≥0且k≠0， 解得k≤

4且k≠0， 34且k≠0 3故答案为：k≤【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义及判别式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；解题时，要注意a≠0这个隐含的条件.

18．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x第一次降价后价格变为100（1-x）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解

解析：20％ 【解析】 【分析】

此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案． 【详解】

设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元． 根据题意，得100（1-x）2=， 即（1-x）2=0.， 解得x1=1.8，x2=0.2． 因为x=1.8不合题意，故舍去， 所以x=0.2．

即每次降价的百分率为0.2，即20%． 故答案为20%．

19．2【解析】【分析】设ABBCAC与⊙O的切点分别为DFE；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB）由此可求出r的长【详解】解：如图；在Rt△ABC∠

解析：2 【解析】 【分析】

设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根

据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长． 【详解】 解：如图；

在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12； 根据勾股定理AB=

∴四边形OECF是正方形；

由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF； ∴CE=CF=（AC+BC-AB）； 即：r=（5+12-13）=2． 故答案为2．

四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；

20．【解析】试题分析：连结BC因为AB是⊙O的直径所以∠ACB＝

90°∠A+∠ABC＝90°又因为BDCD分别是过⊙O上点BC的切线∠BDC＝110°所以CD=BD所以∠BCD＝∠DBC＝35°又∠AB

解析：【解析】

试题分析：连结BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，又因为BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∠BDC＝110°，所以CD=BD,所以∠BCD＝∠DBC＝35°,又∠ABD＝90°，所以∠A=∠DBC＝35°．

考点：1．圆周角定理；2．切线的性质；3．切线长定理．

三、解答题

21．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】

分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； 每天可多售出2×

（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．

3=26件． 详解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×

（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20．

∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10．

答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．

点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．

11；(2) 44【解析】 【分析】

22．(1)

(1)由概率公式即可得出结果；

(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果． 【详解】

解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同， ∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是(2)画树状图分析如下：

共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为

1； 441． 1

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．（1）a1，2；（2）a1 【解析】 【分析】

(1)根据关于x的一元二次方程x22(a1)xa2a20有两个不相等的实数根，得到

[2(a1)]24a2a20，于是得到结论；

2(2)由根与系数的关系可得x1x22(a1)，x1x2aa2，代入2x12x2x1x216，解方程即可得到结论．

【详解】

(1)∵关于x的一元二次方程x22(a1)xa2a20有两个不相等的实数根， ∴[2(a1)]4aa20， 解得：a3， ∵a为正整数， ∴a1，2；

2(2)∵x1x22(a1)，x1x2aa2， 22∵x1x2x1x216，

22∴x1x2x1x216，

∴[2(a1)]3aa216， 解得：a11，a26， ∵a3， ∴a1． 【点睛】

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 24．（1）【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可. （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可. 试题解析：（1）设方程的另一根为x1，

22213，；（2）证明见解析.

22a3x11x1

21

.解得{. ∵该方程的一个根为1，∴{

1a2

a1x1

21

∴a的值为

13，该方程的另一根为.

222（2）∵a241a2a24a8a24a44a240， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用. 25．（1）3；（2）见解析；（3）-32（1）直接把（1，0）代入抛物线yx2xc即可得出c的值；

（2）先根据（1）抛物线的解析式得出其顶点坐标，再在顶点两边分别取两点，画出函数图象即可；

（3）根据函数图象可直接得出结论． 【详解】

2解：（1）∵抛物线yx2xc与x轴的一个交点是（1，0），

∴122c0, 解得c=3， ∴抛物线的解析式为yx2x3. 故答案为：3.

（2）∵抛物线的解析式为yx22x3. 即y(x1)4, ∴其顶点坐标为（-1，4），

∴当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3； 当x=-3时，y=0；当x=1时，y=0． 如下表：

22x ••• ••• 3 0 2 1 0 1 0 ••• ••• y 3 4 3 函数图象如图所示：

（3）由函数图象可知，当y＞0时，-3＜x＜1． 故答案为：-3＜x＜1． 【点睛】

本题考查的是抛物线与x轴的交点，能利用描点法画出函数图象，根据数形结合求解是解答此题的关键．