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应用问题
【内容综述】
数学应用题是把日常生活和生产实践中具有一定数量关系的实际问题用语言或文字表示出来的计算题目。应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证。这一系列的解题程序，要求对问题深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义。
【要点讲解】
1．合理地选设未知数
列方程解应用题中必不可少的一步是合理地选设未知数。如何设元，设多少元，才能使解题列为方便，这完全因题而异。
★例1．(我国古代问题)一位妇女在河边洗碗,邻居问：“家里来了多少客人，要用这么多碗？”她回答说：“客人每两个合用一只菜碗，每三个合用一只汤碗，每四个合用一只饭碗，共用65只碗。”她家究竟来了多少客人？
思路 直接设未知数，将日常语言翻译成代数语言，从而列出方程。 解设来的客人数为x．
日常语言 代数语言 来了多少客人 X 用多少菜碗
用多少汤碗
用多少饭碗
共用65个碗
解得 x=60。
答 她家共来了60个客人。
说明 求什么，设什么，求几个设几个，这称为直接设未知数；虽然要求多个未知数，但根据各未知数之间的关系，可以只设一个，使思考较为集中，称为少设未知数。 ★★例2 某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时 9千米的速度走平路到B地，共用55分种。回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共1.5小时。求A，B两地相距多少千米？
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解法1 设坡路长为X千米，则下坡需要小时，上坡需要小时，下坡后通过平路需
小时，上坡前通过平路需小时，从而路的长为千米或
千米。
∴ 解得 x=3。
=。
∴ =6 ， 6+3=9 。
答: A、B两地相距9千米。
说明 设的未知数不是所求的量称为设间接未知数；求一个未知数，设两个（或更多）未知数称为多设未知数法：此题还可有如下解法：
解法2 （间接设元）设平路长为x千米，则由坡路长相等得
。
解法3 （间接增设元）设上坡需x小时，下坡需y小时，则由题意得
解法4 （直接辅以间接增设元）设A、B两地相距x千米，坡路长为y千米，则
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★★★例3 若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润可由目前的P%增加到
求P。
思路 本题若直接设未知元，则不易列方程，为此，可间接设元，设进货价为x，则下降后的进贷价为0.92x。由于售出价不变，它可用以下方程表示：
。
解 设原进货价为x，则下降8%后的进货价为0.92x。根据题意售货价不变，故有以下方程：
。
约去x得
化简整理得 0.008P=0.012 , 所以 P=15. 答 原利润为15%.
，
★★★例4 已知盐水若干千克,第一次加入一定量的水后,盐水的浓度变为3%; 第二次又加入同样多的水后,盐水浓度变为2%. 求第三次加入同样多的水之后盐水的浓度. 解 设原有盐不a千克,每次加入的水量是b千克,且设第三次加入水后,盐水浓度为x%.依题意,有
化简得 由①得 3a+3b=2a+4b,
即 a=b ,代入②得 4ax=6a (a≠0). ∴x=1.5.
答 第三次再加入同样多水后,盐水浓度为1.5%.
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说明 对于数量关系比较复杂或已知条件比较少的应用题,用列方程的方法解决时,如果仅按所求的量设置未知数,往往不易或不能列出方程. 此时,除了应设的未知数外,还需要增设些辅助量,以便沟通数量关系. 2.寻求等量关系是列方程的关键
在列方程解应用题时,关键是找出题意中的等量关系,然后就可以有目的地选择合适的未知数,列出需要的代数式,最后把等量关系翻译成代数语言,也即列出了代数方程. ★★★★例5 一群学生分糖果, 第一个学生取a颗又剩下的n分之一; 第二个学生取2a颗又剩下的n分之一; 第三个学生取3a颗又剩下的n分之一; „„依次类推,这样,全部糖果被所有学生平均分完,问共有多少个学生?
分析 这个问题若用常规方法列方程或方程组是比较麻烦的.但仔细审题便会发现解题的突破点应是全部糖果被所有学生平均分完,而且最后一个学生取得的糖果数恰好是学生总数的a倍.
解 设有m个学生,则第m个学生取ma颗糖果,从而每一个学生也是取ma颗.对于第(m-1)个学生取糖果,他首先取了(m-1)a颗,还要取a颗,这相当于剩下的n分之一,而剩下的糖果
数是a+ma,故有方程.即 .
答 共有个学生.
说明 本题采用了逆推法,即有些应用题如果按一般方法,顺着题目的要求一步一步地列出算式求解,其过程将会非常繁琐,此时可以从已知条件的最后结果出发,利用逆运算的类分,顺次倒推回来,最后求出要求的结果.
★★★★例6 学生若干人,住若干间宿舍,如果每间住4人,还余19人;如果每间住6人,将有一间宿舍不空也不满,求宿舍间数和学生人数.
解 设有学生x人,宿舍y间(x、y是正整数),则有 由②得 6y-6www.100xuexi.com 圣才学习网 www.100xuexi.com 圣才学习网解之得 ．
因y为正整数,所以y=10， 或y=11， 或y=12 ．从而
．
说明 此题不仅要找出等量关系，而且要借助不等式恰当地表示出“有一间宿舍不空也不满”的含义，再结合题目的实际意义，经过严密地分析推理，才能顺利获解． ★★★★★例7 一组割草人去两块草地割草.大的一块比小的一块大一倍.上午全部人都在大的一块草地割草,下午一半人留在大草地上,到傍晚时把草割完,另一半人去割小草地的草,到傍晚还剩下一块,这一块由一个割草人再用一天时间刚好割完. 问:这组割草人共多少人?(按习惯,从早晨到傍晚算一天工作,上午、下午各算半天)。
解 设这组割草人数为x，因为再多一个人就把两块草地割完，所以一天内把两块草地都割完所需人数是x+1，因为大草地上两块草地面积的，所以一天丙割完大草地所需人数是（x+1）。另一方面，上午全部人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，相当于人割一天，另人割半天即人割一天，因此一天内割完大草地的人数为+，
从而得
解之得 x=8 . +
答 这组割草人共有8人.
A 级
★★1. 如果在某一年的5月份中,有5个星期五,它们的日期之和为80,那么这个月的4日是星期( ).
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(A)一 (B)三 (C)五 (D)日
★★2. 现在哥哥年龄是弟弟年龄的2倍,而9年前弟弟的年龄只是哥哥年龄的,则哥哥现在的年龄是( )岁.
(A)23 (B)24 (C)25 (D)26
★★3.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是_______秒.
★★★4.在计算一个正数乘以的运算时,某同学误将错写成3.57,结果与正
确的答案相差1.4,则正确的乘积结果是_______.
★★★5.一船从重庆到上海要5昼夜,而从上海到重庆要7昼夜,那么有一木排从重庆顺流漂到上海要多少昼夜?
B 级
★★6.一个两位数,它的十位数字与个位数字对调后,所得数是原两位数两个数字和的6倍,则此两位数是( ).
(A)45 (B)54 (C)36 (D)以上答案都有不对
★★★7.如图1,在一个正方体的顶点处填上1～9的数码中的8个,每顶点只填一个数码,使得正方体每面上的四个顶点所填的数码之和均为18,那么未被填上的数码是( ). （Ａ）3 (B)5 (C)7 (D)9
★★★8.新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门,他知道每把钥匙只能开其中的一个门,但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙,现在要打开所有关闭着的20个房间,他最多要试开_______次.
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★★★★9.一小贩把他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客,把余下的一半又半个卖给第二个顾客,就这样,他把所余西瓜的一半又一半卖给以后的几个顾客,卖完七个人,他已经一个西瓜也没有了,问这个小贩原有西瓜多少个?
★★★★10.一队旅客乘汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等,起初每辆汽车乘了22人,结果剩下1人未上车;如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少名旅客?
参或提示
1．（D） 提示：设5个星期五的日其依次为，X，X+7，X+14，X+21，X+28，则X+（X+7）+（X+14）+（X+21）+（X+28）=80，即X=2。故这个月的2号是星期五。
2．（B） 提示：由题意可列方程： 3．7.5 提示:相对速度相同.
。其中X为哥哥现在的年龄。
4.4 提示:设某正数为x,则.
5.设重庆与上海间的距离为x千米,水流速度为v千米/每昼夜,则轮船的顺流速度为
千米/每昼夜,逆流速度为千米/每昼夜,从而-=2v, 即x=35v, 所以木排从重庆顺流
漂到上海需 6. 答案:(B).
(昼夜).
7. (D) 提示:设所填8个数之和为S,每一数出现在3个面上,共有6个面,则得3S=6×18,即S=36.而1+2+„+9=45,故未知数被填上的数码为45-36=9.
8. 答案:210.提示:打开第一个门最多试开20次,打开第二个门最我试开19次,依次类推.
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9.设小贩原有x个西瓜.第一次卖了个,第二次卖了
=个,第三次卖了个,依次类推,第
四、五、六、七次分别卖了个、个、个、
个。从而，++++++
=x.故x=127(个).另此题也可以利用逆推法求解.
10.设起初有汽车m辆,开起一辆空车后,平均每辆车所乘旅客为n人.由于
,
32,
依题意有22m+1=n(m-1).所以有.因为n为自然数,所以为
整数,因此m-1=1或m-1=23,即m=2或m=24.当m=2时,n=45(不合题意,舍去);当m=24时,n=23.故起初有汽车24辆,有乘客529人
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