九年级中考数学模拟试卷
考试时间：100分钟
满分：120分
一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．﹣的倒数是（ ） A．
B．3
C．
﹣3
D．﹣C．a5•a2=a7
D．
2．下列计算正确的是（ ） A．a2+a2=a4B．（a2）3=a5
2a2﹣a2=2
3．股市有风险，投资需谨慎．截至今年五月底，我国股市开户总数约95 000 000，正向1亿挺进，95 000 000用科学记数法表示为（ ）户． A．9.5×106B．9.5×107C．9.5×108D．9.5×1094．图中几何体的左视图是（ ）
A．B．
5．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，
若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（ ） A．115°B．l05°C．100°D．95°6．某校开展为“希望小学”捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：
2，3，2，2，6，7，6，5，则这组数据的中位数为（ ） A．4B．4.5C．3D．27．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ） A．100元B．105元C．108元D．118元8．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ） A．25°B．30°C．35°D．40°
9．已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ） A．6B．12C．D．
C．D．
10．如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=5π．分别以B，D为圆心，AB为半径画弧，两弧分别交对角线BD于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ） A．4π
B．5π
C．8π
D．10π
二．填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．9的平方根是 ．12．因式分解3x2﹣3= ．13．如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P= 度．14．在一个不透明的袋子里装有6个白球和若干个黄球，它们除了颜色不同外，其它方面均相同，从中随机摸出一个球为白球的概率为，则黄球的个数为 ．15．在平面直角坐标系中，点A和点B关于原点对称，已知点A的坐标为（﹣2，3），那么点B的坐标为 ．16．已知A（2，y1），B（3，y2）是反比例函数（填“＞”或“＜”）．
图象上的两点，则y1 y2
三．解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．计算：
．
18．解不等式组：
19．如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）（2）求证：AB=AE．
四．解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
（2）设每件降价x元，每天盈利y元，每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
21．如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个半圆，每一个扇形或半圆都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，列出所有等可能情况，并求出点（x，y）落在坐标轴上的概率；
（2）直接写出点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的概率．
22．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
五．解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是
的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若sin∠BAD=，⊙O的半径为5，求DF的长．
24．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
25．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=2，移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D.（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．
参及评分标准
一．选择题（共10小题）C C B B B A A B B A二．填空题（共6小题）
11． ±3 ．12． 3（x+1）（x﹣1） ．13． 30 14． 2 ．15． （2，﹣3） ．16． ＜ 三．解答题（共9小题）17．计算：解答：
解：原式=2
﹣4×
﹣+1，…………4分
．
=．…………6分
18．解不等式组：．
解答：
解：解不等式4x﹣8＜0，得x＜2；…………2分
解不等式
，得2x+2﹣6＜3x，即x＞﹣4，…………4分
所以，这个不等式组的解集是﹣4＜x＜2．…………6分
19．如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）用尺规作图作∠ABC的平分线交AD于E（保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明）（2）求证：AB=AE．
解答：（1）解：如图BE是所求作的：
…………3分
（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，…………4分∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，…………5分∴AB=AE．…………6分
20．商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
（2）设每件降价x元，每天盈利y元，每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
解答：解：（1）设每件降价x元，则销售了（20+2x）件，
（40﹣x）（20+2x）=1200，…………1分
解得x1=10，x2=20，…………2分
因为要减少库存，x=20．即降价20元；…………3分
答：降价20元时可降低库存，并使每天盈利1200元；…………4分（2）y=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800…………5分
当x=15元时，有最大值y=1250，…………6分
每件降价15元时商场每天的盈利达到最大1250元．…………7分
21．如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个半圆，每一个扇形或半圆都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为x，乙转盘中指针所指区域内的数字为y（当指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法，列出所有等可能情况，并求出点（x，y）落在坐标轴上的概率；
（2）直接写出点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的概率．解答：解：（1）
…………3分
由树状图得：一共有6种等可能的情况，点（x，y）落在坐标轴上的有4种，…………4分
∴P（点（x，y）在坐标轴上）=；…………5分
（2）∵点（x，y）落在以坐标原点为圆心，2为半径的圆内的有（0，0），（0，﹣1），…………6分
∴P（点（x，y）在圆内）=．…………7分
22．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，…………1分∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），…………2分∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；…………3分（2）连接BE
∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°
∵DC=EF，∴EB=DC，……………4分∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠EBF=∠ACB，…………5分∴△AEB≌△ADC，…………6分∴AE=AD．…………7分
23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是
的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若sin∠BAD=，⊙O的半径为5，求DF的长．解答：（1）证明：连接OD；∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；…………1分
∵∠A=∠BOD，∴∠BOC=∠BOD；∴∠DOC=∠BOC；…………2分∴
，则点E是
的中点；…………3分
（2）证明：如图所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，∵CO=CO，OD=OB，∴△COD≌△COB；…………4分∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，∴∠CDO=∠B=90°；…………5分∴CD是⊙O的切线；…………6分（3）解：在△ADG中，∵sinA=
，
设DG=4x，AD=5x；∵DF⊥AB，∴AG=3x；又∵⊙O的半径为5，∴OG=5﹣3x；…………7分∵OD2=DG2+OG2，∴52=（4x）2+（5﹣3x）2；∴x1=，x2=0；（舍去）…………8分∴DF=2DG=2×4x=8x=8×
．…………9分
24．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解答：解：（1）M（12，0），P（6，6）．…………2分
（2）设抛物线解析式为：
y=a（x﹣6）2+6…………3分
∵抛物线y=a（x﹣6）2+6经过点（0，0）∴0=a（0﹣6）2+6，即a=﹣…………4分
∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x．…………5分
（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m）D（m，﹣m2+2m）．……6分
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）…………7分=﹣m2+2m+12=﹣（m﹣3）2+15．…………8分
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．…………9分
25．（2013•宝山区一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=2，移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．解答：（1）证明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，
则∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90°∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN，∠POB=45°，…………1分∵在△PCH与△PDN中，
，
∴△PCH≌△PDN（ASA）…………2分∴PC=PD；…………3分
（2）解：∵PC=PD，∴∠PDC=45°，∴∠POB=∠PDC，∵∠DPE=∠OPD，∴△PDE∽△POD，…………4分∴PE：PD=PD：PO，…………5分又∵PD2=CD2，∴PE=
121x，即y与x之间的函数关系式为y=x2；…………6分44（3）如图1，点C在AO上时，∵∠PDF＞∠CDO，
令△PDF∽△OCD，∴∠DFP=∠CDO，
∴CF=CD，…………7分∵CO⊥DF
∴OF=OD…………8分
∴OD=DF=OP=2；…………9分
