培优辅导专题6： 圆锥曲线中的轨迹问题

轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．

模块1 整理方法 提升能力

曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下3种：

1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．

2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．

3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了N个未知数与参数，要得到未知数x与y之间的关系，需要找N1个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．

例1

已知点P2,2，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． （1）求M的轨迹方程； （2）当OPOM时，求l的方程及△POM的面积． 【解析】（1）法1（定义法）：圆心C0,4，由垂径定理可知CMPM，于是点M在以CP为直径的圆上，所以M的轨迹方程为xx2y4y20，即

x1y3222．

1

uuuuruuuuruuuur法2（直接法）：设M的坐标为x,y，由CMPM可得CMPM0．CMx,y4，uuuur22PMx2,y2，于是xx2y4y20，即x1y32．

法3（参数法）：当l的斜率不存在时，其直线方程为x2，于是y28y40，所以点

M的坐标为2,4．

y2kx2当l的斜率存在时，设直线方程为y2kx2，Mx,y．联立2消去2xy8y0y可得k1x4kkx4k8k120，于是x22222k2kk12，将ky2代入，x2y22y22x2x2，整理可得x12y322（x2）消去参数k，可得x． 2y21x2综上所述，M的轨迹方程为x1y32．

（2）法1：由OPOM可知点M在以原点为圆心，OP为半径的圆上．联立

222xx1y322145，解得，于是点的坐标为M2,，于是直线l的方程为21455yxy8522y21x2，即x3y80．△POM的面积为322121481622． 25551232法2：由OPOM可知点O在PM的垂直平分线上，而PM的垂直平分线过圆心1,3，

11所以直线l的斜率为，直线方程为y2x2，即x3y80．因为OP22，33点O到直线l的距离为d4104102，所以PM2OPd2，于是△POM的面积为55141041016． 2555【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0，斜率乘积为1，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论．

求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得

2

到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．

例2

在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：x5y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值． （1）求曲线C1的方程； （2）设Px0,y0（y03）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A、B和C、D．证明：当P在直线x4上运动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值． 【解析】（1）法1：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆C2的圆心5,0的距离等于它到直线x5的距离，因此，曲线C1是以5,0为焦点，直线x5为准线的抛物线，所以方程为y220x．

法2：设M的坐标为x,y，由已知得x2的右侧，于是x20，所以2x52y23，且点M位于直线x2x52y2x5，化简得曲线C1的方程为y220x．

【证明】（2）当点P在直线x4上运动时，设P的坐标为4,y0，又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

yy0kx4，即kxyy04k0．于是5ky04kk123，整理得

272k218y0ky090…①．设过P所作的两条切线PA、PC的斜率分别为k1、k2，则k1、

k2是方程①的两个实根，所以k1k2由18y0y0…②． 724k12k1xyy04k10可得yyy04k10…③．设四点A、B、C、D的纵220y20x20y04k1k1，

坐标分别为y1、y2、y3、y4，则y1、y2是方程③的两个实根，所以y1y2同理可得y3y420y04k2k2．于是y1y2y3y4400y04k1y04k2k1k2

3

2400y04k1k2y016k1k2k1k222400y0y016k1k2k1k200．所以当P在直线x4上运

动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值00．

【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数：k1、k2、y1、y2、y3、y4，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法．

例3

已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1、l2分别交C于A、B两点，交C的准线于P、Q两点． （1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ； （2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． a21【证明】（1）焦点坐标为F,0．不妨设直线l1：ya，直线l2：yb，则A,a，

22b2111abB,b，P,a，Q,b，于是R,．

22222111当线段AB垂直于x轴时，不妨设ab，则有A,1，R,0，Q,1，于是

222kFQ1，kAR1，所以AR∥FQ．

当线段AB不垂直于x轴时，直线AB的斜率为kab2，方程为22abab222a2yaxab2，即2xabyab0，因为F在线段AB上，所以ab1．于是

4

kFQbb，kAR11221abbabb222b，所以AR∥FQ．

a1a112122baab2ab．直线AB与x轴的交点为,0，所以△ABF2【解析】（2）△PQF的面积为

ab1ab11abab，可得ab11，于是ab0（舍去）ab．由的面积为222222或ab2…①．

a2b2ab设AB中点为Mx,y，则x…②，y…③．③式平方，可得

42a2b22ab2，将①②代入，可得y2x1． y4【点评】本题采用了参数法求AB中点的轨迹方程，其实质是引进了2个未知数x、y与a2b2ab2个参数a、b，此时我们需要找3个方程：x，y，ab2，通过这3个42方程消去2个参数，从而得到x与y之间的关系．一般来说，引进了N个未知数与参数，要得到未知数x与y之间的关系，一般需要找N1个方程．找到方程后，通过加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参．这是参数法的关键所在． 抛物线焦点弦有两个常用结论：设AB是过抛物线y22px（p0）焦点F的弦，若p2Ax1,y1，Bx2,y2，则有（1）x1x2，y1y2p2；（2）以弦AB为直径的圆与准线相4切． 模块2 练习巩固 整合提升

练习1：已知圆M：x1y21，圆N：x1y29，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程；

（2）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求AB．

【解析】（1）设动圆P的半径为r，则PMr1，PN3r，两式相加，可得

22PMPN4，所以圆心P是以M、N为焦点，2a4的椭圆（左顶点除外）．a2，c1，

x2y2b3，所以C的方程为1（x2）．

43

5

（2）由（1）可知PMr1，PN3r，所以PMPN2r2MN，于是r2，当且仅当点P为2,0时，等号成立，所以当圆P的半径最长时，圆P的方程为

x22y24．

①当l的斜率不存在的时候，此时显然l就是y轴，AB23．

②当l的斜率存在的时候，显然l的斜率不为0，设l与x轴交于点Q，则有

QMQP1，2即

1xQ2xQ1，由此解得xQ4，且k21QM1222，于是直线方程为42yx424，消去y，可得7x28x80．由弦长公式，有yx4．联立224xy13428478182AB1k21． a4772x2y2练习2：已知椭圆C：1，Px0,y0为椭圆C外一点，过点P作椭圆C的两条

42切线PA、PB，其中A、B为切点．

（1）当点Px0,y0为定点时，求直线AB的方程； （2）若PA、PB相互垂直，求点P的轨迹方程． 【解析】（1）设Ax1,y1、Bx2,y2，则切线PA方程为所以

x1xy1y点P在切线PA上，1，

42x1x0y1y0xxyy1…①．同理，切线PB方程为221，点P在切线PB上，所以4242x2x0y2y0xxyy1…②．由①②可得直线AB的方程为001，即x0x2y0y40． 4242（2）①若直线PA、PB的斜率都存在，不妨设其斜率分别为k1、k2，则k1k21．设

yy0kxx0过点Px0,y0的直线方程为yy0kxx0．由x2y2消去y可得

1242k21x24kkx0y0x2kx0y020．因为直线与椭圆相切，所以

2222216k2kx0y042k212kx0y020，即4x0k22x0y0ky020．由



6

22y01，即PA、PB与椭圆相切可知k1、k2是该方程的两个实数根，所以k1k224x022x0y06．

②若直线PA、PB中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时点P的坐标为

2,2，满足x202y06．

综上所述，点P的轨迹方程为x2y26．

【点评】给定圆锥曲线C和点Px0,y0，用x0x、y0y、x0xy0y、分别替换x2、y2、22x、y，得到直线l，我们称点P和直线l为圆锥曲线C的一对极点和极线．其结论如下：当P在圆锥曲线C上的时候，其极线l是曲线C在点P处的切线；当P在圆锥曲线C外的时候，其极线l是曲线C从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当P在圆锥曲线C内的时候，其极线l是曲线C过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．特别地： xxyyx2y2椭圆221（ab0），与点Px0,y0对应的极线方程为02021． ababxxyyx2y2双曲线221（a0，b0），与点Px0,y0对应的极线方程为02021． abab抛物线y22px（p0），与点Px0,y0对应的极线方程为y0ypx0x． x2y2a2在椭圆221（ab0）中，点Pc,0对应的极线方程为x，这就是椭圆的abc右准线． 本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法．第（2）小问也可以引进Ax1,y1、Bx2,y2、Px0,y0，共2个未知数x、y和4个参数：x1、y1、x2、y2，利用以下5个方22xxx1x0y1y0x2x0y2y0x12y12x2y2程进行消参：1，1、121． 1、1、4y1y242424242练习3：如图，抛物线C1：x24y和C2：x22py（p0）． 点Mx0,y0在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点分别为A、B （M为原点O时，A、B重合于O）．当x012时，切线MA的

1斜率为．

2（1）求p的值；

（2）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A、中点为O）． B重合于O时，

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x24y上任意一点x,y的切线的斜率为y【解析】（1）因为抛物线C1：

x，且切线MA21111的斜率为，所以点A的坐标为1,，故切线MA的方程为yx1．因为点

4224M12,y0在切线MA及抛物线C2上，所以有y011223和222441222py0，由此可得p2．

2x2，Bx2,4x12（2）设Nx,y，Ax1,4． 2x12x2x1x2当x1x2时，因为N是线段AB的中点，所以有x…①，y…②．切线

822x1x12x1xx12x2xx2，同理MB的方程为y．解此方MA的方程为yxx1，即y242424xx2xx程组，得MA、MB的交点Mx0,y0的坐标为x01，y012，由此及点M在抛物

242x12x242线C2上，得x04y0，即x1x2…③．由①②③可得x2y，x0．

63当x1x2时，A，B重合于原点O，此时线段AB的中点N为原点O，坐标也满足上述方程．因此，线段AB的中点N的轨迹方程为x24y． 3

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