解三角形题型分类解析
类型一：正弦定理 1、计算问题：
例 1、（2013•北京）在△ABC 中，a=3，b=5，sinA= ，则 sinB=
例 2、已知 ABC 中， A 60 ， a 3 ，则
a b c sin A sin B sin C
=．
例 3、在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB=b． 求角 A 的大小；
2、三角形形状问题
例 3、在ABC 中，已知 a, b, c 分别为角 A，B，C 的对边， 1)
a cos A
试确定ABC 形状。
b cos B
a cos B
ABC 形状。 2）若 ，试确定
b cos A
4） 在ABC 中，已知 a 2 tan B b 2 tan A ，试判断三角形的形状。
5） 已知在ABC 中， b sin B c sin C ，且sin 2 A sin 2 B sin 2 C ，试判断三角形的形状。例 4、（2016 年上海）已知ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于
类型二：余弦定理
1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角
在△ABC 中，
若 a2 b2 c2 ，则角C 是直角； 若 a2 b2 c2 ，则角C 是钝角； 若 a2 b2 c2 ，则角C 是锐角． 例 1、在△ABC 中，若 a9,b10,c12,则△ABC 的形状是
。
2、求角或者边
例 2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若 AB= 13 ,BC=3， C 120 ,则 AC=．
例 3、在△ABC 中，已知三边长 a 3 ， b 4 ， c 37 ，求三角形的最大内角．
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例 4、在△ABC 中，已知 a=7,b=3,c=5，求最大的角和 sinC?
3、余弦公式直接应用
例 5、：在 ABC 中，若 a2 b2 c2 bc ，求角 A．
例 6、：(2013 重庆理20)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，
且 a2＋b2＋ 2 ab＝c2. (1)求 C；
例 7、设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c . 若(a b c)(a b c) ab ，
则角C
a例 8、（2016 年北京高考） 在 ABC 中，
2
c2 b2 2ac .
（1） 求B 的大小；
（2） 求
2 cos A cos C 的最大值.
类型三：正弦、余弦定理基本应用
例 1.【2015 高考广东，理 11】设ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若
a
3
， sin B ， C
1 π
，则b .
2
ac
6
例 2. (a c)2 b 2
1，则 B 等于。
例 3.【2015 高考天津，理 13】在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，已知
1 b c 2, cos A , 则 a 的值为. ABC 的面积为 3 15 ，
4
例 4.在△ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求 sinA=。
1
3
例 5.【2015 高考北京，理 12】在△ABC 中， a 4 ， b 5 ， c 6 ，则
sin 2 A sin C
．
例 6.若△ ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C 5 :11:13 ，则△ ABC
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（A）一定是锐角三角形. （C）一定是钝角三角形.
（B）一定是直角三角形.
(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
变：在ABC 中，若sin A : sin B : sin C 3 : 5 : 7 ，则角C 的度数为
例 7.△ ABC 的三个内角满则 A:B:C=1:2:3 则 a:b:c=.
例 8.设ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且cos A
3 5
， cos B , b 3 则
5
c
13
类型四：与正弦有关的解的个数思路二：利用大边对大角进行筛选
例 1：在△ABC 中，bsinA＜a＜b，则此三角形有 A.一解 B.两解
C.无解
D.不确定
例 2：在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A、a 7 ， b 14 ， A 30 ； B、b 25 ， c 30 ， C 150 ；
6 3 C、b 4 ， c 5 ， B 30； D、a ， b ， B 60 。
例 3：在ABC 中，
a , b 3( 0), A 45o ,则满足此条件的三角形有几个？
有关的问题
.
类型五：与 A B C
例 1：在△ABC 中，sinA=2cosBsinC，则三角形为
变：在△ABC 中，已知sin C 2 sin(B C) cos B ，那么△ABC 一定是。
例 2:在ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是a , b , c .已知cos 2 A 3cosB C 1.
(I)求角 A 的大小;
(II)若ABC 的面积 S 5 3 , b 5 ,求sin B sin C 的值.
1
例 3:△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C＝2ccos A，tan A＝3，求
B.
例4:在△ABC中，a,
b, c分别为内角A, B, C的对边，且
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2asinA (2b c)sinB (2c b)sinC
（Ⅰ）求 A 的大小；（Ⅱ）求sin B sin C 的最大值.
类型六：边化角，角化边
注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分
②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若 sin,cos 都存在时首先考虑边化角
例 1:在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC． （Ⅰ）求角 C 的大小；
2sin2B－sin2A
例 2 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a＝2b，则值为
sin2A 的
例 3.△ABC 中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC 为 A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形
例 4：(2011·全国)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B.
(1) 求 B； (2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
例 5：（2016 年四川高考）在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 cos A cos B sin C
.
b c （I） 证明： sin Asin B sin C ；
6
（II） 若b2 c2 a2 bc ， 求tan B .
5
a
例 6：（2016 年浙江高考）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. b+c=2acosB.
（I） 证明：A=2B；
已知
a 2 （II） 若△ABC 的面积 S = ，求角 A 的大小.
4
例 7： ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c .
（I）若 a，b，c 成等差数列，证明： sin A sin C 2 sinA C ； （II）若 a，b，c 成等比数列，求cos B 的最小值.
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类型七：面积问题面积公式：
例 1：设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是a, b, c ，且 b=3，c=1，
△ABC 的面积为 2 求 cosA 与 a 的值；
4
A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ， cos A , b 3 。 例 2:在ABC 中，角
3 5
（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC 的面积.
C 的内角 ， ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．向量 m a, 3b例 3：
与
n cos , sin 平行．
（I） 求 ； （II） 若 a
7 ， b 2 求C 的面积
例 4．在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足 (1)求△ABC 的面积；(2)若 c＝1，求 a 的值．
例 5：（2013•浙江）在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB= b．
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．
例 6：（2016 年全国 I 高考） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
2 cos C(a cos B+b cos A) c.
（I） 求 C；
3 3（II） 若c 7,△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长．
2
题型八：图形问题
例 1：如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标
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方向线的水平转角)为 140°的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为110°，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？
例 2.【2015 高考湖北，理 13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一ft顶 D 在西偏北30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此ft顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此ft的高度 CD m.
正弦定理、余弦定理水平测试题 一、选择题
1. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2＋c2－b2＝ 3ac，则角 B 的值为
π π π 5π π 2π
A. 6B.3C.6或 6 D.3或 3
2. 已知锐角△ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3，则角 C 的大小为
A．75° B．60° C．45°D．30°
3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC
A. 一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4. 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为
5 3 3 7
2 D.8 A.18B.4C.
5．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若∠C＝120°， c＝ 2a，则(
)
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a 与 b 大小不能确定 二、填空题
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，则 A＝ 6．△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边，已知 a＝ 3，b＝3，C＝30°7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若a＝ 2，b＝2，sin B＋cos B＝ 2，则角 A 的大小为
．
8. 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且 AB＝1，BC＝4，则边 BC 上的中线
AD 的长为 三、解答题
．
9. △ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.若 a2－c2＝2b，且 sin B＝4cos Asin
C，求 b.
10. 在△ABC 中，已知 a2＋b2＝c2＋ab. （1） 求角 C 的大小；
（2）
3
又若 sin Asin B＝4，判断△ABC 的形状．
11．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，
3
4 (a2＋b2－c2)． 且 S＝
（1） 求角 C 的大小；
（2） 求 sin A＋sin B 的最大值．
12.【2015 高考新课标 2，理 17】（本题满分 12 分）
(Ⅰ) 求
ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC ， ABD 面积是ADC 面积的 2 倍．
sin B
sin C
；
(Ⅱ)若 AD 1 ， DC
2 2
，求 BD 和 AC 的长．
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, \"people who learn to learn are very happy people.\". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of
continuous learning, \"life is diligent, nothing can be gained\can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
