高中数学椭圆的标准方程--利用定义求最值问题

椭圆的标准方程：利用椭圆的定义求最值

一、教学目标：

1、知识与技能：掌握利用定义求椭圆中的最值方法；

2、过程与方法：由椭圆的定义与标准方程出发，培养学生分析探索能力，熟练掌握利用定义求椭圆中的最值方法；

3、情感、态度与价值观：通过求椭圆标准方程的学习，渗透概念与数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨思考，规范得出解答；培养学生自主学习能力；

4、高考导向：①《普通高中数学课程标准（2017年版）》第44页：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；②《普通高中数学课程标准（2017年版）》第45页：【学业要求】：能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。

二、重点与难点：

1、重点：利用定义求最值； 2、难点：掌握方法并灵活应用。 三、教学过程 （一）课前热身：

x2y21上任意一点，F1,F2是该椭圆的左、右1、（原创）已知点P是椭圆

10036焦点。则PF1PF2的最大值是 。

解析：法1：设任意点P(x,y),F1(8,0),F2(8,0),y23692x,25 16222PF1(8x,y),PF2(8x,y),则PF1PF2xyx282510x10当x0时，PF28；当x10时，PF36. 1PF2有最小值是1PF2有最大值是故：最大值是36.法2(三角代换法）：设点P(10cos,6sin)(R),F1(8,0),F2(8,0)则F1P（10cos8,6sin),F2P(10cos8,6sin).PF1PF2F1PF2P(10cos8)(10cos8)36sin2100cos236sin2cos2281cos10cos2128cos22836PF1PF2的最大值是36.

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（二）利用椭圆的定义求最值 类型一：

x2y2例（原创）、已知1F1，F2是椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点，求|PF1||PF2|225196的最大值。解析：依题意知：a15,由椭圆的定义知：|PF1||PF2|30,2(PF1PF2) 所以，|PF1||PF2|225,当且仅当|PF1||PF2|时等号成立，4所以|PF1||PF2|的最大值是225.

类型一探究与总结：

方法总结：x2y2已知F1，F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1||PF2|ab2的最大值是a.探究：依题意知：由椭圆的定义知：|PF1||PF2|2a,22

所以，|PF1||PF2|(PF1PF2)(2a)a2,当且仅当|PF1||PF2|时等号成立，44所以|PF1||PF2|的最大值是：a2.

类型二：

x2y2例2、已知P为椭圆1上一点，M,N分别是圆(x3)2y24

251622和(x3)y1上的点，求|PM||PN|的取值范围。（图一）

解析：两圆心F1(3,0),F2(3,0)是椭圆的左右焦点，两圆的半径分别为R2，r1,(|PM||PN|)max|PF1|R|PF2|r2aRr13;(|PM||PN|)min|PF1|R|PF2|r2aRr7所以,|PM||PN|7,13. 2

x2y2例3、已知椭圆C：1内有一点M(2,3),F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆2516C上一点，求：（1）|PM||PF1|的最大值与最小值；（2）|PM||PF1|的最大值与最小值。（图二）

解析：（1）有椭圆方程知：a5,F1(3,0),F2(3,0).由三角形的两边之差小于第三边，如图，连接MF1并延长交椭圆于点P1,则P(|PM||PF1|)max|MF1|34;1是使|PM||PF1|的最大值点，所以，|PM||PF1|(|PF1||PM|)延长F1M交椭圆于点P2，则(|PF1||PM|)max|F1M|34.所以，(|PM||PF1|)min34.

(2)由椭圆的定义知|PF1||PF2|2a10，所以，|PM||PF1||PM||PF2|10以下做法同（1）所以，1010|PM||PF1|1010.

x2y2方法总结：设椭圆方程为221(ab0).F1,F2为椭圆的左右焦点，M是椭圆ab内一定点，P是椭圆上任意点，则：①|MF1||PM||PF1||MF1|;②2a|MF1||PM||PF1|2a|MF1|.

（三）解决椭圆最值问题的常见思路总结：

①与焦半径乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，

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注意等号成立的条件；

②与|PF1|,|PF2|的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何的知识，转化为三点共线问题求解。

当堂检测与作业：

x2y21上任意一点，F1,F2是该椭圆的左、右焦1、（原创）已知点P是椭圆

100点。则PF1PF2的最大值是 。

x2y22、（原创）已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点，求|PF1||PF2|361296的最大值。x2y241的左焦点，3、（2018.湘潭四模）已知F是椭圆C：P为C上一点，A(1,),953则|PA|+|PF|的最小值为（ ）

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