余式定理

餘式定理、因式定理

除法原理：f (x)= g (x)q(x) + r(x)，deg r(x)餘式定理：多項式f(x)除以xa的餘式等於f (a)。

有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。

b

餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b的餘式等於f ( )。

a

f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a的函數值。 (2) 多項式f (x)除以xa的餘式。

範例：二次式ax2+bx4以x+1除之，得餘式3，以x1除之，得餘式1，若以x2除之，所得的餘式為 。

解：f(x) = ax2+bx4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a與b，再求f(2)=18即為所得。

範例：試求11541147211356112+1511+7之值為 。

解： f(x) = x-4x-72x-56x+15x +7

5432 利用綜合除法求f(11) = 51

範例：設二多項式f(x),g(x)以2x3x2除之，餘式分別為3x+2,4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，

219

其餘式為何？ Ans：

2

解：f(x) = (2x3x2)× p(x) + (3x+2)

2g(x) = (2x3x2)× q(x) + (-4x+7)

2f(x)+g(x) = (2x3x2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)

2 = (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9)

1119F(x) = f(x)+g(x) , F(2) = -(2) +9 =

2

範例：求多項式(x+3x+2)被x+2x+3除之餘式為何？

232解：x+3x+2 = (x+2x+3) + (x-1)

22(x+3x+2)= ( (x+2x+3) + (x-1) )

2323 = (x+2x+3) + 3(x+2x+3)(x-1) + 3 (x+2x+3)(x-1) + (x-1)

2322223求多項式(x+3x+2)被x+2x+3除之餘式 = 求多項式(x-1)被x+2x+3除之餘式

23232 = 10x+14

範例：多項式f(x)以x-3x4，2x3x+1除之餘式各為4x1，2x+7，試求f(x)以

222x9x+4除之餘式為何？

2解： f(x) = (x-3x4) × p(x) + 4x1 = (x-4)(x+1) × p(x) + 4x1

2

f(x) = (2x3x+1) × q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) × q(x) + 2x+7

21 f(4) = 15 且f(2) =8

f(x) = (2x9x+4) × S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) × S(x) + ax +b

211 利用f(4) = 15 = 4a +b 及 f(2) = 8 = 2a +b

我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以 2x9x+4除之餘式為 2x + 7

2範例：多項式f(x)以x(x1)除之，餘式為 x+3，以x(x+1)除之餘式為3x+3，則f(x)

除以x(x1)之餘式為何？

2解：f(x) = x(x1) × p(x) + (x+3)

f(x) = x(x+1) × q(x) + (3x+3)

f(x) = x(x1) × S(x) + ax+ bx + c

22我們有 f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入 f(x) = x(x1) × S(x) + ax+ bx + c。

22可以解得 a = 4, b = -2, c = 3 ，故f(x)除以x(x1)之餘式為4x2x+3。

22範例：多項式f(x)除以x3得餘式16，除以x+4得餘式19，則f(x)除以(x3)(x+4)所得的餘式為 。 Ans：5x+1

範例：多項式f(x)以x3x+2除之餘式為3，以x4x+3除之得餘式為3x，則以x5x+6除之餘式

222為 。 Ans：6x9

範例：以x+2x+3除f(x)餘x+12，以(x+1)除f(x)餘5x+4，則以(x+1)(x+2x+3)除f(x)的餘式

222為 。 Ans：6x11x6

2