通过例1的解决，让学生体会当直接利用方程解决问题有困难时，可以借助函数图象的性质解决方程的根的问题，将抽象的“数”与直观的“形”联系起
来，用几何直观解析数量关系，感悟到“以形助数”的数形结合思想.
例2
如图4，已知正方形ABCD的边长为5，E，F
分别是边CD，AD的中点，BE，CF交于点P，求AP的长.
M
AF
DA
FDE
E
PPBCBC图4
图5
解析：（方法1）如图5，延长CF，BA交于点M，
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中国数学教育·初中版2019年第7—8期（总第199—200期）
先证△BCE≌△CDF，可推出BE⊥CF.再证△CDF≌
△AMF，可得AB=AM.由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出AP=1BM，即AP=AB=5.
（方法2）如图6，过点P2作PM⊥BC，交BC于点M，
先证△BCE≌△CDF，可得BE⊥CF.由三角形相似可
得CM∶PM=PM∶MB=CE∶BC=1∶2.从而求得
CM=1，BM=4，MP=2.过点P作PH⊥AB，垂足为点H，
在Rt△AHP中，由勾股定理，可以求得AP=5.
yA
F
DAFDEHPE
PBMCBCx图6
图7
（方法3）如图7，若以BC，AB所在直线建立平面直角坐标系，易求得直线BE和直线CF的解析式.从而求得点P的坐标为P(4，2)，再由点A的坐标为A(0，5)，利用勾股定理，可以求得AP=5.
通过例2的解决，让学生体会利用几何知识解决问题有困难时，可以借助平面直角坐标系这个数和形之间相互转化的桥梁和纽带，把有关矩形（正方形）的线段计算问题转化为简单的一次函数问题，借助数量关系精细地定量研究几何图形的普遍属性和一般规律，感悟到“以数释形”的数形结合思想.
2.通过以下几个问题引导学生对例反思总结，推广到一般，抽象数形结合思想1和例2的解决进
行思考和总结归纳.
问题1：解答例1的过程中，当利用方程知识较难解决问题时，你是怎么思考的？你能说说具体的操作步骤吗？
问题2：当用几何方法解决例2有困难时，你又是怎么思考的？你能说说具体的操作步骤吗？
问题3：你能总结一下什么时候用数形结合思想吗？怎么用？应该注意什么？
总结解决例1和例2的思考过程，学生可以得到以下感悟.
（1）例1中，当用数量角度研究问题有困难时，可以从另一个角度思考问题，用图形直观表示和研究数量关系.32·
（2）例1的思考步骤是：明确研究对象和目标（方
程的根与参数关系）—选择联系中介（坐标系）—画出
并研究函数图象—用数量关系解析图形研究结果，得到问题的解.
（3）例2中，当从几何角度研究问题有困难时，可以
从另一个角度思考问题，用数量关系研究图形的性质.
（4）例2的思考步骤是：明确研究对象和目标（求
正方形背景中线段的长）—选择联系中介（坐标系）—
建立并解方程组—用点的位置解释方程组的解，确定
点的位置.
在此基础上，教师引导学生归纳这两道题思考过程的共性，并推广到一般，即当数学问题需要进行定性分析或定量计算时，往往需要利用数形结合思想解决问题.
注意要点：运用数形结合思想解决问题的关键是找到数和形之间相互转化的联系中介；借助联系中介找到与之对应的图形或数量关系模型.初中数学中常见的数和形之间相互转化的中介是数轴、平面直角坐标系、距离、角度等几何度量.
3.迁移应用，巩固数形结合思想例3解不等式：2x+x2+1<0.
解析：直接通过代数运算解这个不等式，会出现三次不等式，比较难解.于是考虑转换问题，变形为不等式x2+1<-2x，变成研究函数y=x2+1和y=-2x的
大小关系，画出这两个函数图象，如图8所示.通过观察图象猜想并验证，可得这两个函数图象的交点坐标是
(-1，2).根据图象，可得不等式的解集为-1yA′（-1，2）Ox图8对于例3，教师让学生用总结的“以形助数”的思想方法解决新的问题，实现数形结合思想的迁移.
4.例4
融合应用，联系不同的思想方法已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以
AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A，B重合），连接PA，PB，PC，PD.
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（1）如图9，当PA的长度等于______时，∠PAD=60角形；
°；当PA的长度等于_________时，△PAD是等腰三yDCDCPS1PS3S2ABA（O）Bx图9
图10
（2）如图10，以AB边所在直线为x轴，AD边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD，△PAB，△PBC的面积分别记为S1设点P的坐标为P(a，b)，试求2S，S2，S3.
1S3-S22的最大值，并求出此时a，b的值.
解析：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°.当∠PAD=60°时，利用三角函数可求得PA=23.当PA=PD时，△PAD是等腰三角形.由等腰三角形的性质与相似三角形的性质，即可求得PA的值为
22或85.
（2）5如图11，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，延长FP交BC于点G，则PG⊥BC.
因为点P的坐标为P(a，b)，正方形ABCD的边长为4，所以PE=b，PF=a，PG=4-a.
所以S1=1×4a(4-a)=8-2a，2=2a，S2=1×4b=2b，S3=1×4·
且b2=a(4-a)=24a-a2．
2则2S1S3-S22=2×2a(8-2a)-(2b)2=-4(a-2)2+16.当a=2时，b=2，2S1S3-S22的最大值为16.
yDCFPGA（O）EBx图11对于例4，教师让学生用前面总结提炼出的“以数释形”的思想方法来解决新问题，实现了数形结合思想方法的迁移应用.而且例4的两道小题中，既有数形结合思想的应用，又有函数建模思想的应用，把两种不同的思想方法融合解决问题，让学生体会思想方法
之间的相互联系，有助于帮助学生建立数学思想方法体系.
五、进一步思考
数学思想是在数学活动中体现出来的思考问题的观念和方式，是对数学内容和方法的本质认识和进一步抽象概括.数学方法是数学思想的具体表现形式.数学思想方法和活动经验是一种程序性知识，这种知识的学习需要经历解决问题、反思总结、迁移应用和系统深化四个基本阶段.通过具体问题的解决过程，让学生通过反思总结得到操作步骤和要领，通过迁移应用内化为自己的行动指南，通过横向联系和纵向概括
逐步构建思想方法体系，发展数学核心素养.因此，
数学思想方法的复习教学需要设计与之对应的教学活动.美国著名的教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”.数学思想在初中数学中有着至关重要的地位，它不仅是使学生形成良好认知结构的纽带，还是由知识转化为能力和素养的桥梁，是培养学生数学素养，形成优良思维品质的关键.数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓.数学思想比数学知识更具稳定性和持久性，它的这一特征会对人们生活方式与行事方式产生潜移默化的长远影响.
因此，一线教师绝不能仅仅以教会数学知识为目标，更重要的是让学生在学习知识的过程中获得数学思想.“整体视野下的初中数学思想方法专题复习设计”正是基于这样的考虑，让学生在不同情境或问题解决中慢慢感悟、反思、提炼、总结出不同思想方法及其相互之间的内在联系，并迁移到新问题的解决过程中，从而引导学生通向迁移大道的“光明之路”.
参考文献：
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彰
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