广东省广州市仲元中学2018-2019学年高二上期中考试
理科数学试题
（ ）
D. {0,2,3,6}
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.全集U＝｛01,3,5,6,8｝,集合A＝{ 1，5, 8 }, B ={2},则A. 【答案】D 【解析】
B. { 0,3,6}
C. {2,1,5,8}
全集U＝｛0,1,3,5,6,8｝,集合A＝{ 1，5, 8 },B ={2},故选D.
2.已知命题A. C. 【答案】A 【解析】
，则
为（ ）
B. D.
{0,2,3,6}.
,
.
依据存在性命题的否定形式必是全称性命题，由此可知答案A是正确的，应选答案A。
3.已知条件p：2≤x≤3，条件q：x＜-3或x≥1，则p是q的（ ） A. 充分必要条件 C. 必要非充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 充分非必要条件 D. 既非充分又非必要条件
由集合的包含关系可得答案. 【详解】由于条件因为集合
，条件是集合
或或
的真子集
所以是的充分非必要条件 本题正确选项：
【点睛】本题考查充要条件的判断，从集合的包含关系入手是解决问题的关键，属基础题.
4.设某大学女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为A. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为B. 回归直线过样本点的中心
，则下列结论中不正确的是（ ）
C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加D. y与x具有正的线性相关关系 【答案】A 【解析】 【分析】
根据回归方程为
【详解】选项：
但这是预测值，不可断定其体重为选项：回归直线过样本点的中心选项：回归方程为故正确； 选项：
的
，
，可知
时，
，故不正确； ，故正确；
，所以与具有正的线性相关关系，故正确；
均正确，对于回归方程只能进行预测，但不可断定．
，根据系数可知，该大学某女生身高增加，则其体重约增加，
本题正确选项：
【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题.
5.若向量A. 2 【答案】A 【解析】 【分析】
夹角为60°，
B.
，则=（ ）
C. 3
D.
利用已知条件，通过向量的模长的平方，结合向量的数量积构造方程求解即可. 【详解】向量可得：
，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，属于常规题型.
6.已知数列{an}的通项公式an=4n-20，则如图算法的输出结果是（ ）
夹角
，
，，即：
A. 3 【答案】D 【解析】 【分析】
B. 4 C. 5 D. 6
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，不满足条件【详解】模拟执行程序框图，可得则则则则
，，，，
，，，，
，
，
时，输出的值. ，满足条件
，满足条件 ，满足条件 ，满足条件
，不满足条件，退出循环，输出
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，其中还考查了数列的通项公式，属于基础题．
7.把函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
根据函数平移变换知，图像向左平移个单位，函数变为，即为
对称轴可得，可化为
．当
时，有
．故本题答案选．
8.一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三棱锥，再根据体积公式求解即可. 【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三棱锥
．函数的
三棱柱的体积剪去的三棱锥体积所以几何体的体积本题正确选项：
【点睛】本题考查由三视图还原几何体、空间几何体体积的求解问题，属于基础题. 9.已知点
分别是椭圆
的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于
两点，若
为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. 【答案】D 【解析】 方程∴
．
中，令
，可得
，
B.
C.
D.
∵△ABF2为正三角形， ∴∴∴整理得∴解得
或
，
（舍去）．选D．
，
，
，
，即
，
点睛：求椭圆离心率或其范围的方法 (1)求
的值，由
的方程(或不等式)，借助于
直接求．
消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(2)列出含有
10.在区间[0，1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（ ） A. 【答案】B 【解析】 【分析】 设取出的两个数为
，在直角坐标系中画出符合题意的区域，根据几何概型概率公式可得结果.
，则
，
B.
C.
D.
【详解】设取出的两个数为记事件为“
”
则在平面直角坐标系中可得如下图形：
由几何概型的概率公式可得本题正确选项：
【点睛】本题考查了几何概型中面积型问题的求解，关键是能够在平面直角坐标系中表示出符合题意的区域，属于常规题型.
11.如果函数y=f（x）在区间Ⅰ上是减函数，而函数间Ⅰ上“缓减函数”，区间Ⅰ叫做“缓减区间”．若函数中为函数Ⅰ的“缓减函数区间”的是（ ） A.
B.
C.
D.
在区间Ⅰ上是增函数，那么称函数y=f（x）是区
是区间Ⅰ上“缓减函数”，则下列区间
【答案】C 【解析】
【分析】
根据题意，分析函数【详解】根据题意，对于则对于若函数上是增函数 区间为分析选项可得：本题正确选项：
【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是理解“缓减函数”的含义，通过函数的单调性的判定得到符合题意的区间，属于基础题.
12.已知F1、F2分别为双曲线
的左右焦点，直线MN过点F2与双曲线交于M、N
或
为的子集，可知正确
在区间
上为减函数 ，在区间
和
上为减函数，在区间
和
上为增函数
在区间
和
的单调区间，结合“缓减函数”的定义分析可得答案.
，是二次函数，其对称轴为
是区间上“缓减函数”，则在区间上是减函数，函数
两点，且|F1N|=2|F1M|，若cos∠F1MN=cos∠F1F2M，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】D 【解析】 【分析】 用
表示出
，利用余弦定理计算
，得出和的关系即可得出答案.
和
，由
【详解】
由双曲线定义可得又在在
中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：
，
整理得
双曲线的渐近线方程为渐近线的倾斜角为本题正确选项：
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求解，考查余弦定理的运用，化简整理的运算能力，属于中档题.
的，即
，设双曲线的离心率为
或（舍）
，解得：
，即
和
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.古代科举制度始于隋而成于唐，完备于宋、元．明代则处于其发展的鼎盛阶段．其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷按比例录取，其录取比例为11：7：2．若明宣德五年会试录取人数为100．则中卷录取
人数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】
利用所给比例计算即可得出结论.
【详解】由题意，明宣德五年会试录取人数为本题正确结果：
，则中卷录取人数为
人
【点睛】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，正确理解分层抽样是关键.
14.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知 【答案】； 【解析】 根据正弦定理知，
15.已知实数，满足【答案】4 【解析】
由约束条件画出可行域如下图，目标函数可化简为点P与定点D(0,-2)斜率的范围为
=
，设
,所以即可行域上的
则
的最小值为__________．
，所以
，故填.
，则
______．
,过点A(1,0)时取最小值，所以目标函数的最小值为4，填4.
【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式： （1）截距型：
当的最值情况和的相反；
，与直线的截距相关联，若
，当的最值情况和z的一致；若
，
（2）斜率型：与的斜率，常见的变形：，
，
（3）点点距离型：
16.已知函数
+f（2018）的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】 通过验证【详解】
.
表示
到
两点距离的平方；
，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）
，通过倒序相加法可得结果.
原式
本题正确结果：
【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，关键是能够通过函数自变量的变化规律，推导得出
.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知向量（1）求
的值；
，设函数
．
（2）求函数f（x）的单调增区间． 【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 （1）将
整理为
，代入
求得结果；（2）利用整体代入的方式，求得单调递增区间.
（2）令解得：函数
的单调增区间是
，
，
，
，
【详解】（1）
【点睛】本题考查
的图象与性质，关键是采用整体代入的方式求解结果，属于基础题.
，其中A车间13人，B车间18.某工厂生产部门随机抽测生产某种零件的工人的日加工零件数（单位：件）12人，获得数据如下：
根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 [25，30] （30，35] （35，40] （40，45] （45，50]
（1）确定样本频率分布表中n1、n2、f1和f2的值；
（2）现从日加工零件数落在（40，45]的工人中随机选取两个人，求这两个人中至少有一个来自B车间的概率． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据茎叶图数据和频数分布表即可得到结果；（2）确定【详解】（1）由茎叶图和样本频数分布表得：
，
（2）日加工零件数落在从日加工零件数落在
的工人共有人，其中人在车间，人在车间 的工人中随机选取两个人，基本事件总数
，
车间的人数，根据古典概型求得结果.
，
，
，频数 3 5 8 n1 n2 频率 0.12 0.20 0.32 f1 f2 ；（2）
这两个人中至少有一个来自车间包含的基本事件个数这两个人中至少有一个来自车间的概率
【点睛】本题考查统计图表的知识、古典概型计算概率问题，属于基础题.
2
19.等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=9a2a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列【答案】（1）【解析】 试题分析：（1）由
得
，从而求，再代入
求，代入等比数列通项公式求；
；（2）
的前n项和Tn．
（2）求数列前n项和，首先考察数列通项公式，根据通项公式的不同形式选择相应的求和方法，由
=，故求得，利用裂项相消法求和.
得
，所以
.由条件可知.
故
试题解析：(1)设数列{an}的公比为q.由由(2)
得
，所以
.故数列{an}的通项公式为
.
故.
所以数列
的前n项和为
.
考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的性质；3、数列求和.
20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E是PD的中点． （1）求证：PB∥平面ACE；
（2）若四面体E-ACD的体积为，求AB的长．
【答案】（1）见解析（2）2 【解析】 【分析】
（1）通过中位线证明通过构造方程求得
.
交
于点，连接的中点
的中位线
，从而得到结论；（2）取
中点，可证得
平面
，即为三棱锥的高，
【详解】（1）证明：连接
是正方形 点是
又点是又
的中点
，
的中点，连接
是平面
平面平面
（2）解：取点是又设所以解得：故
平面，且
的中点 平面，则
的长为
【点睛】本题考查线面平行的证明、空间几何体的体积问题，关键是能够准确找出几何体的高，从而利用体积建立起方程，使问题得以求解.
22
，记l为圆O：x+y=1的切线 21.已知焦点在x轴上且长轴长为4的椭圆C过点T（1，1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若l与椭圆C交于A、B两点，求证：∠AOB为定值． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用长轴长和椭圆上的点，构造方程求解出椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，求得求得可得
；当直线斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出，可得
；从而可知
为定值.
坐标，可，整理化简
=1．（2）∠AOB为定值．
【详解】（1）焦点在轴上且长轴长为的椭圆过点设椭圆方程为
则，解得，
椭圆的方程为（2）证明：
为圆
的切线
当的斜率不存在时，的方程为又与椭圆交于则
，，
两点 或
或
，
，
当直线存在斜率时，设的方程为：则
，即
联立由题意则
，设
，得
，，
综上可知，
为定值
【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定值问题.解决定值问题的关键是能够构造出关于变量的关系式，通过韦达定理的形式进行化简、消元，从而得到所求定值，对学生计算能力要求较高，属于常规题型.
2
22.函数f（x）=ax+x-1+3a（a∈R）在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围．
【答案】【解析】 【分析】 当
时，可知符合题意；当时，分别讨论在有重根、在有一个根且不是重根、在
有两个不同实根的情况，根据二次函数图象可得不等式组，从而求得结果. 【详解】当令当①方程令当当
时，令时，令，得时，函数
时，，是区间在区间
上的零点
上有零点分为三种情况： 上有重根 ，解得：，得，得在区间
或
上的零点 上的零点
的重根
在区间
，不是区间，是区间
②若函数令③若函数
上只有一个零点，但不是，解得
在区间上有两个零点
则或
解得：
综上可知，实数的取值范围为
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质问题，关键在于能够根据不同的情况，根据二次函数图象得到不同的不等式，从而求得参数范围.
