抽象函数的性质及解题技巧

抽象函数

（一）常用抽象函数及其模型 特殊模型 正比例函数f(x)=kx (k≠0) 幂函数 f(x)=x 指数函数 f(x)=a (a>0且a≠1) 对数函数 f(x)=logax (a>0且a≠1) 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx 正切函数 f(x)=tanx 余切函数 f(x)=cotx

（二）抽象函数常出题型

1、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

评析：已知f(x)的定义域是A，求fx的定义域问题，相当于解内函数x的不等式问题。 例：已知函数f(x)的定义域是1,2 ，求函数flog13x 的定义域。

2xn抽象函数 f(x+y)=f(x)+f(y) f(xy)=f(x)f(y) [或f(x)yf(x)f(y)] f(x+y)=f(x)f(y) [或f(xy)f(x) f(y)f(xy)=f(x)+f(y) [或f(x)f(x)f(y)] yf(x+T)=f(x) f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)1f(x)f(y)f(x)f(y) f(xy)评析： 已知函数fx的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数x的值域。

2、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;

例.对任意实数x,y，均满足f(x+y)=f(x)+2[f(y)]且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：

2

2

令xn,y1,得f(n1)f(n)2[f(1)]2, 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,

∴f(1)=

11n2001,即 f(n1)-f(n),故f(n),f(2001). 2222-1

-1

-1

②R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f(x),由y=f(x+1)与y=f(x+2)互为反函数，则f(2009)= . 解析：由于求的是f(2009)，可由y=f(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.

练习：函数f(x)为R上的偶函数，对xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，若f(1)2，则f(2005)=（ ）

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A . 2005 B. 2 C.1 D.0 3、值域问题

例.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在x1x2,使得

f(x1)f(x2)，求函数f(x)的值域。

解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数x1x2，使得f(x1)f(x2)成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。

x由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，f(x)f()0 ,又因为若f(x)=0,则22f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.

4、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，

x1例1、设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,fxf1x ,求f(x)的解析式。 x解:f(x)f(x1)1x (x0且x1),(1)---- 用x-1代换x得:f(x1)f(1)2x1,（2）

xxx1xx 再以112x(1)(3)(2)x3x21代换(1)中的x得:f(得:f(x) (x0且x1) )f(x). ---（3）由221-x1-x1x2x2x小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 例2、已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x-4x,求f(x).

解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax+bx+c (a≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x-2x-1. 小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 5、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）

例1、设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值.

解析:由单调性的定义步骤设x10,∴f(x2-x1)<0） 所以f(x)是R上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3), 令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.

练习:已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)1，f(x)在(0,+∞)上是增函数；

解： （1）设x2x10，则f(x)f(x)f(xx2)f(x)f(x)f(x2)f(x)f(x2)

211111x1x1x12

2

2

∵x2x10，∴

x2x1，∴f(2)0，即f(x2)f(x1)0，∴f(x2)f(x1)

x1x12

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∴f(x)在(0,)上是增函数 6、奇偶性问题

例：已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇

偶性。

解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系：

取y=-1有f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1有f(1)=2f(-1)，取x=y=1有f(1)=0.所以f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数。

注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（x）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。

例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足1f(xy)求证：f(x)是奇函数。

证明：设t=x-y,则f(t)f(yx)f(x)f(y)1，（2）存在正常数a，使f(a)=1.

f(y)f(x)f(y)f(x)1f(y)f(x)1f(t)，所以f(x)为奇函数。

f(x)f(y)f(y)f(x)22例15：设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(,0)上是增函数，又f(2aa1)f(3a2a1)。求实数a的

取值范围。

解析：又偶函数的性质知道：f(x)在(0,)上减，而2aa10，3a2a10，所以由

22f(2a2a1)f(3a22a1)得2a2a13a22a1，解得0a3。

（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：

f(a1)f(1)或f(a1)f(12a)等；也可将定义域作一些调整）

例16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．求证f(x)为奇函数；

证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)---- ①令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，∴f(x)是奇函数．

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7、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称） ．．．编号 周 期 性 对 称 性 1 fxafxa→T=2a fxafxa→对称轴xayfxa是偶函数； fxafxa→对称中心（a,0）yfxa是奇函数 faxfbx→对称轴xab； 22 faxfbx→T=ba faxfbx→对称中心(3 ab,0)； 2f(x)= -f(x+a)→T=2a f(x)= -f(-x+a)→对称中心a,0 24 faxfbx→T=2ba f(x)=±faxfbx→对称中心ab,0 2ab, 225 f(x)=1-6 1→T=2a fxf(x)= b-f(-x+a)→对称中心1f(x)0→T=3a fxa 结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于xbaba,0)对称 对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(22 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）

由恒等式判断：

x前符号相同，判断函数的周期性

（1）f(x)前有负号，周期为前后法则相减绝对值的2倍：T2ab （2）f(x)前无负号，周期为前后法则相减的绝对值：Tab

x前符号相反，判断函数的对称性

（1）f(x)前无负号，函数图像关于轴对称，对称轴为，前后法则相加和的一半：（2）f(x)前有负号，函数图像关于点对称，对称中心为：(

ab 2ab,0) 2

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