河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估数学(理)试题(图片版)

2017年秋期期中考试三数学试题（理）及答案

一、选择题：

1.已知集合A{x|y3xx1}，B{x|lgx1}，则A∩B=（ D ） A． [1,3] B．(1,3] C．（0，1] D．（0，3]

2.复数z满足z|z|84i，则z=( A )

A.34i B.34i C.43i D.43i 3.设命题p：x0,xlnx0，则p为（ D ）

A．x0,xlnx0 B．x0,xlnx0

C．x00,x0lnx00 D．x00,x0lnx00

4.设{an}为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1=（A．18 B．20 C．22 D．24

5.若x,y是正数，且

1x4y1，则xy有（ A ） A．最小值16 B．最小值

116 C．最大值16 D．最大值

116 6.在△ABC中，a8，b10，A45，则此三角形解的情况是（ B ）

A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解

B ）

7.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x0时，g(x)ln(1x)，函数

x3(x0)f(x)，若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是( D )

g(x)(x0)A．(－2,1)B．(－∞，－2)∪(1，2)∪(2，＋∞) C．(－1,2)D．(－2，－2)∪(－2，0)∪(0,1)

kyf(x)Axxsin,kN且k4，值域为B,e,3的函8.已知是定义域为4数，则这样的函数共有（ A ）个.

A.6 B.27 C. D.81

xkx2,x09.若函数f(x)x1有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是

lnx,x0( C )

A．(－4,0)

C． (－∞，0]D．(－∞，0)

10.已知O是ABC所在平面内的一定点，动点P满足

B．(－4,0]

OPOA(ABABACAC),(0,)，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ A ）

A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心

11.已知有穷数列an中，n=1,2,3,,729.且an(2n1)(1)n1.从数列an中依次取出

a2,a5,a14,.构成新数列bn，容易发现数列bn是以-3为首项，-3为公比的等比数列.

记数列an的所有项的和为S，数列bn的所有项的和为T，则（ A ） A.ST B.ST C.ST D.S与T的大小关系不确定

12.4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（ B ）

A.-1 B.0 C.1 D.2

二、填空题：

2113.已知sincos,则tan= ．2或

5214.在ABC中，AB7,AC25.若O为ABC的外心，则AOBC ．288

x15.下列结论：①②存在a1,x0,使得alogax； “a1”是“aa”的充要条件；③函数y2tanx的最小正周期为；④任意的锐角三角形ABC中，有sinBcosA成

1tan2x2立。其中所有正确结论的序号为 ．①②④

16.已知k0,b0,且kxbln(x2)对任意的x2恒成立，则

b的最小值为 ．1 k三、解答题：

17.(本题满分10分）已知函数f(x)ee，其中e是自然对数的底数．

xx（1）证明：f(x)是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf(x)exm1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围.

【解答】解：（1）∵f(x)ee，

xxxxf(x)eef(x)，即f(x)是R上的偶函数；…………………………3分 ∴

（2）若关于x的不等式mf(x)exm1在（0，+∞）上恒成立，

即m(exex1)ex1

∵x＞0，∴exex10，

ex1即mx在（0，+∞）上恒成立，………………………………5分

eex1设t=ex，（t＞1），则m1t在t(1,)上恒成立，………………7分 2tt11t11∵t2t113，当且仅当t2时等号成立，

(t1)1t1∴m1．………………………………………………………………10分 3 18.(本题满分12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6S314，a610a4，a4a3．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}中，bnlog2an，求数列{anbn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）由S6S314得a4a5a614，又a610a4，

∴a54，………………………………………………2分

4q{a}又数列n成等比数列，设公比，则4q10

q∴q2或

11（q与a4a3矛盾，舍），………………………………4分 22n5∴q2，an422n3；………………………………6分

（2）bnlog2ann3，∴anbn(n3)2n3，

Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，

2Tn=﹣2×2﹣1×2+0+…+（n﹣3）×2

﹣1

0

n﹣2

，

相减得Tn=2×2﹣（2+2+…+2

﹣2

﹣1

0

n﹣3

）+（n﹣3）×2

n﹣2

=

11n﹣2n﹣2

﹣（2﹣）+（n﹣3）×2 22=（n﹣4）×2n﹣2+1，

即Tn(n4)2n21 …………………………………………………………12分

19.(本题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且cacosBbsinA

（1）求A；

（2）若a22，求△ABC的面积的最值．

【解答】解：（1）由题意知，cacosBbsinA，

由正弦定理得，sinCsinAcosBsinBsinA，

∵sin(AB)sinC，

∴化简得，sinBcosAsinBsinA，

∵sinB0，∴cosAsinA，则tanA1，

由0＜A＜π得，A4；…………………………………………6分

（2）∵a22，A4，∴由余弦定理a2b2c22bccosA得，

228b2c22bc，因为bc2bc，故可得bc842（当且仅当b=c时取等号），

∴△ABC的面积S12bcsinAbc222 24∴△ABC的面积的最大值是222．没有最小值。 ………………………………12分

kx20.(本题满分12分）已知函数f(x)e，kR.

x(1)如果对任意x0，f(x)0恒成立，求k的取值范围； (2)若函数f(x)有两个零点，求k的取值范围； (3)若函数f(x)的两个零点为x1,x2，证明：x1x22. 解：（1）对x0，f(x)0恒成立

kxex，对x0恒成立 令g(x)xex，则g'(x)(x1)ex，

易知：g(x)在(,1)上递减，在(1,0)上递增。

11g(x)ming(1)，k的取值范围是(,).……………4分

ee

（2）f(x)有两个零点，等价于yk与yg(x)xex有两个不同的交点，

1e由 （1）知，k(,0).……………6分

（3）证明：由（2）知：不妨设x11x20， 则x1ex1k0，x2ex2k0，即g(x1)g(x2)k 令h(x)(x2)ex2xex，x(1,0)

h'(x)(x1)(exex2)0，即h(x)为增函数

h(x)h(1)0，即xex(x2)ex2 因为x2(1,0)，故g(x2)g(x22) 由g(x1)g(x2)，得g(x1)g(x22)

由（1）知g(x)在(,1)上递减，

故x1x22，即：x1x22……………………12分

132,kR）21.(本题满分12分）（0，）讨论函数f(x)(k1)(xx)x（在定义域上的单

3调性.

解：f(x)(k1)(x21)2x,x0

①当k1时，f(x)0,f(x)在（0，）上递增； 又，f(x)k(x21)(x1)2

②当k0时，f(x)0，f(x)在（0，）上递减；

③当0k1时，方程f(x)0的判别式4k(2k)0，该方程有两根

x11k(2k)1k(2k)，且0x1x2，则当x变化时，f(x)和f(x)的变化,x21k1k情况如下表：

x f'(x) f(x) （0，x1） x1 0 极小值 （x1，x2） x2 0 极大值 (x2,)  减函数  增函数  减函数 所以f(x)在(0,x1)上递减，在(x1,x2)上递增，在(x2,)上递减。

22.(本题满分12分）已知函数fx（1）求函数fx的极值；

（2）若m1，试讨论关于x的方程fxxm1x的解的个数，并说明理由.

212xmlnx. 2mx2m解：（1）依题意得，f'(x)x，x(0,)

xx当m0时，f'(x)0，故函数f(x)在(0,)上单调递增，f(x)无极值；…………2分 当m0时，令f'(x)0，xm或xm（舍）

当x(0,m)时，f'(x)0，函数f(x)在(0,m)上单调递减； 当x(m,)时，f'(x)0，函数f(x)在(m,)上单调递增。 故函数f(x)有极小值f(m)m(1lnm). …………5分 2综上所述：当m0时，f(x)无极值；

当m0时，f(x)有极小值

m(1lnm)，无极大值。 …………6分 212xm1xmlnx，x0，问题等价于求Fx22（2）令Fxfxxm1x函数的零点个数.

易得F'(x)xm1m(x1)(xm) xx当m1时，F'(x)0，函数F(x)为减函数，因为F(1)30，F(4)ln40，所2以F(x)有唯一零点； …………8分

当m1时，则当0x1或xm时，F'(x)0，而当1xm时，F'(x)0， 所以，函数F(x)在(0,1)和(m,)上单调递减，在(1,m)单调递增， 因为F(1)m10，F(2m2)mln(2m2)0，所以函数F(x)有唯一零点. 22综上，若m1，函数F(x)有唯一零点，即方程方程fxxm1x有唯一

解. …………12分