河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估数学理试题

数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.已知集合P{a,b}，集合M{t|tP}，则P与M关系为（ ） A． PM B．PM C．MP D．PM

2.复数z为纯虚数，若(3i)zai（i为虚数单位），则实数a的值为（ ） A．11 B． 3 C． -3 D． 333.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4,3)，则向量BC等于（ ） A． (7,4) B．(7,4) C． (1,4) D．(1,4) 4.若cos2sin5，则tan（ ） A．

11 B． 2 C.  D．-2 225.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S53(a2a8)，则

a5的值为（ ） a3A．

1135 B． C. D． 63566.已知向量a(2cos,2sin)，b(0,2)，(A．

2,)，则向量a,b的夹角为（ ）

3 B． C.  D． 2227.将函数f(x)sin(2x)(||2)的图象向左平移

个单位长度后，所得函数g(x)的图6象关于原点对称，则函数f(x)在[0,2]的最小值为（ ）

A． 1133 B． C.  D． 22228.已知f(x)(xa)(xb)2，m,n是方程f(x)0的两根，且ab,mn，则实数

a,b,m,n的大小关系是（ ）

A．mabn B．amnb C. ambn D．manb

9.已知ab，若函数f(x),g(x)满足

ba则称f(x),g(x)为区间[a,b]上f(x)dxg(x)dx，

ab的一组“等积分”函数，给出四组函数：

①f(x)2|x|,g(x)x1；②f(x)sinx,g(x)cosx；③

3f(x)1x2,g(x)x2；④函数f(x),g(x)分别是定义在[1,1]上的奇函数且积分值

4存在.

其中为区间[1,1]上的“等积分”函数的组数是（ ） A． 1 B． 2 C. 3 D．4

10.设等差数列{an}的前n项和Sn，若S410，S515，则a4的最大值为（ ） A． 2 B． 3 C. 4 D．5

11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f'(x)，当x0时，

2f(x)xf'(x)0恒成立，则f(1),2016f(2016),2017f(2017)的大小关系为（ ）A． 2017f(2017)2016f(2016)f(1) B．2017f(2017)f(1)2016f(2016) C.

f(1)2017f(2017)2016f(2016)

D．f(1)2016f(2016)2017f(2017)

12.已知实数x,y分别满足：(x3)2016(x3)a，(2y3)2016(2y3)a，则

33x24y24x的最小值是（ ）

A． 0 B． 26 C. 28 D．30

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若sin(3x)，则sin2x的值为 ． 45

14.集合A{x|x2a0}，B{x|x2}，若CRAB，则实数a的取值范围是 ．

15.如图，已知OCB中，B,C关于点A对称，D是将OB分成2:1的一个内分点，DC和

OA交于点E，若OEOA，则实数的值为 ．

{2.5}2，16.定义函数f(x){x{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}2，

*当x(0,n],nN时，函数f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则

an ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分） 设f(x)2x3的定义域为A，g(x)lg[(xa1)(2ax)](a1)的定义域为B. x1（1）求A,B；

（2）若p:xA,q:xB，p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18. （本小题满分12分）

设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知（1）求角B； （2）若sinAabac，b3.

sin(AB)sinAsinB3，求ABC的面积. 319. （本小题满分12分）

已知：a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2). （1）若|c|25，且c//a，求c的坐标；

（2）若|b|5，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角. 220. （本小题满分12分）

4xk2x1已知函数f(x). xx421（1）若对任意的xR，f(x)0恒成立，求实数k的取值范围； （2）若f(x)的最小值为-2，求实数k的值. 21. （本小题满分12分）

设数列{an}满足an3an12(n2,nN*)，且a12，bnlog3(an1). （1）证明：数列{an1}为等比数列； （2）求数列{anbn}的前n项和Sn；

n13n（3）设cn，证明：cn.

4anan1i122. （本小题满分12分）

已知函数f(x)e1ax(aR). （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）当x(0,2]时，讨论函数F(x)f(x)xlnx零点的个数；

x（3）若g(x)ln(e1)lnx，当0a1时，求证：f[g(x)]f(x).

x

试卷答案

一、选择题:DDABD ACACC DC 二、填空题：．13.三、解答题： 17.解：（1）由 2﹣

≥0，解得x＜﹣1或x≥1，即A=- ,1∪1 ,…………2分

n(n1)7 14.,4 15.0.8 16. an 252由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0得：（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0，

由a＜1得a+1＞2a，∴2a＜x＜a+1，∴B=（2a，a+1）． ………………5分 （Ⅱ）∵p：x∈A，q：x∈B，￢p是￢q充分不必要条件， ∴p是q必要不充分条件， ∴

或

解得≤a＜1，或a≤﹣2，

故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪，∴θ=π．………………12分

20.解：（1）因为4+2+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4+k•2+1＞0恒成立， 即k＞﹣2﹣2恒成立，

因为﹣2﹣2=﹣（2+2）≤﹣2，当且仅当2=2即x=0时取等号，所以k＞﹣2； ………………6分

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

x

x

x

（2），

令，则，

当k＞1时，无最小值，舍去；

当k=1时，y=1最小值不是﹣2，舍去；

当k＜1时，，最小值为，

综上所述，k=﹣8． ………………12分 21. 证明(1)

an3an12n2,nN*,an+1（ 3an11）又a12,an+10

所以数列{an1}为等比数列； ………………4分

（2）由（1）知an3n1，bnlog3(an1)n，anbnn(3n1)n3nn 设

3n3n111（3）cnn()

anan1(31)(3n11)23n13n111n11所以，ci(ii1)

2i13131i11111111 -  - L   223nn123-13-13-13-13131111111 ………………12分 n1n123-13142(31)422.解：（1）f(x)ea，

xn0，此时f(x)只有增区间-, ， 当a0时，f(x) 0时，由f(x) lna， 0得xlna，由f(x) 0得x 当a ，减区间为- . ,lna 所以此时f(x)的单调增区间为lna,

综上：当a0时，f(x)的单调增区间为-, ；

0时，f(x)的单调增区间为lna, 当a ，减区间为- . ………………4分 ,lna ex1lnx， （2）Fxe1axxlnx，由Fx0得axxex1ex1x1lnx，hx设hx， xx2x1时，hx 当0 0；当1x2时，hx0

所以hx在0,1单调递减，在1,2上单调递增

e21ln2， 又h1e1，h220且x0时，hx， 当x 函数hx的图像如图所示：

故当ae1时，函数Fx没有零点；

e21ln2时有一个零点； 当ae1或a2e21aln2时有两个零点. ………………8分 当e1 2

a1时，f(x)在lna, 上单调递增， （3）由（1）知，当0 故要证f[g(x)]fx，只需证lna gxx即可.

0， 由gxln(e1)lnx知x xxe 上单调递增， 设1xe -1-x，1-1 0，所以1x在0, xx

-1x，所以lnex1lnx0，所以gx0lna. 所以1x100，所以e x因为xgxxlnxlnex1lnxexlnex1，

xxex 设2xxex 上单调递增， ex1，20，所以2x在0, 所以2x200，所以xex ex1，所以lnxexlnex10，即xgx， 由得f[g(x)]fx. ………………12分

