● ． ． 教学方法 ≤置 ————————————ＦＡＮＧＦＡｊ ●０ ．－ｌ －． ● 擒搋镶枣 鹫 撬 凌刽 幞 碾 ◎袁富中（贵州省遵义县平正民族中学 数学习题（或例题）是数学教材结构体系的重要组成部 分，是使学生系统、牢固地掌握数学基础知识和基本技能的 一５６３１１２） 四、试题本质 此题的本质特征是正方形，若过点Ｄ作ＯＥ上ＢＣ于Ｅ， ＯＦ￣ＡＢ于Ｆ，又构成一个正方形ＢＥＯＦ，如图７，中考题第２２ 个载体．教材是试题的来源，即使是一些综合题也是习题 （或例题）的加工和拓展．高效的习题（或例题）教学能提高学 生思维品质，提高教学效果．如何对习题（或例题）进行适当 的扩张，挖掘习题（或例题）的潜力，是教师们值得研究的问 题．本文以２００８年遵义市中考压轴题为例。浅析习题教学的 重要性．与读者商榷． 一、试题呈现 如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝２ＡＢ， Ｅ是ＡＤ的中点．一块三角板的直角顶 点与点Ｅ重合，将三角板绕点Ｅ按顺 时针方向旋转，当三角板的两直角边 与ＡＢ，ＢＣ分别交于Ｍ，，ｖ时，观察或 测量ＢＭ与ＣⅣ的长度，你能得出什么结论？并证明你的结 论． 二、试题解法 证法一如图２，在矩形Ａ曰ＣＤ中。ＡＤ＝２ＡＢ，Ｅ是ＡＤ的 中点。作ＥＦ上ＢＣ于点Ｆ，则有ＡＢ＝ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＣ． 在ＲｔＡＡＭＥ和ＲｔａＦＮＥ中， ＡＥ＝ＥＦ， ＡＥＭ： ＦＥＮ：９０ｏ一厶ＭＥＦ， 。．．ＲｔＡＡＭＥ ＲｔＡＦＮＥ．．‘．ＡＭ＝ＦＮ． ．ＭＮ＝ＣＮ． Ａ Ｅ Ｆ Ｄ 图２ Ｉ冬ｌ ３ 证法二如图３，过Ⅳ作，ｖＦ￣ＡＤ于点Ｆ，证ＲｔＡＡＭＥ ＲｔＡＦＮＥ． 证法三如图４，过ｃ作ＣＦ／／ＥＮ交ＡＤ于点Ｆ，证Ｒｔ△ 肘 ＲｔＡＤ 证法四如图５，连接ＢＥ，ＣＥ，证Ｒｔ△曰肘Ｅ Ｒｌ△Ｃ，ｖＥ． Ａ Ｅ Ｄ 图４ 图５ 三、试题来源 此题的原型是人教版数学教材八年下册第ｌ１６页“实验 与探究”第一个小实验：如图６，正方形ＡＢＣＤ的对角线相交 于点０，０又是正方形Ａ ｌＢｌＣ ０的一个顶点，两个正方形的边 长相等，那么无论正方形Ａ ．Ｃ。Ｄ绕点Ｄ怎样转动，两个正 方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的． 图６ 图７ 题就是在此基础上改编的．教材中的一些习题是值得我们在 学习中去加以研究、探索的．由此充分发挥其智能价值． 五、试题探究 探究：第２２题在题设条件不变的情况下，将三角板绕点 Ｅ继续旋转，到如图８、如图９的位置，二三角板的两条直角边 分别与ＢＡ（或ＡＢ）的延长线、ＣＢ（或ＢＣ）的延长线交于 ，Ｊ］、７． （１）线段ＢＭ与ＣＮ有何关系？证明你的结论； （２）线段ＢＭ，ＢＮ，ＢＣ之间有怎样的数量关系？请写出猜 想并证明． 图８ 图９ 解法分析（１）由图８、图９均可得ＢＭ＝ＣＮ；在图８中 可过点Ｅ作ＥＦ￣ＢＣ于Ｆ．再证明△ＡＥ △腰Ⅳ即可．如图 ９，连接ＢＥ，叩，证明ＡＢＥＭ ＡＣ Ⅳ即可． （２）线段ＢＭ，ＢＮ，ＢＣ之问的数量关系是：在图８中有 ＢＭ—ＢＮ：ＢＣ；在图９中有ＢＮ—ＢＭ＝ＢＣ．在题（１）的基础上 即可证明． 点评将图形如此变化后，问题的深度与广度都得到了 提高，有更多的思考空间，其综合能力得到培养． 六、几点体会 在中学数学教学中，教师以课本习题为案例，结合中考 试题．引导学生自主探究，反思解题方法和解题思路．了解课 本习题图形的变化，结论的拓展、引申、推广，可以深化学生 对课本习题的理解．完善学生的认知结构，提高学生自主探 究、分析解决问题的能力．培养学生创造性思维能力．波利亚 曾经说过：“用一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发 掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户， 把学生引入一个完整的领域．” （１）挖掘课本习题（或例题）有利于激发学生学习兴趣， 巩固基础知识教学内容的不断更新与变化，可以不断引起学 生新的探究活动．从而产生更高水平的求知欲．对课本中的 原题进行有目的、有计划的引申、拓展，可以激发学生学习数 学的积极性，同时加深对所学知识的理解．有的数学题，若把 题目中的原料进行加工，就能产生一系列新题，给人面目一 新的感觉．而有些题。不便于学生在很短的时间内解答，尤其 在考试时．时间仓促．通过挖掘、探究出的新题可弥补这个缺 陷，让学生做新题，学生的学习兴趣被调动起来，更有效地巩 固了基础知识． （２）挖掘课本习题（或例题）有利于学生透彻理解问题， 增强应变能力．在习题（或例题）教学挖掘、加工时，只要充分 注意教材中的衔接，把新旧知识有机结合，在以往的经验和 数学学习与研究２０１０ 教学方法 ． ． ．１．－Ｉ，・ ● 瀵囊黪囊遂 蹙穗娥 鳓墙拳 ◎金开芬（湖北省房县实验中学４４２１００） 数学教育的着重点应放在让每个学生的思维能力得到 多定理．如角平分线定理、线段中垂线定理、勾股定理、根的 锻炼和发展．而逆向思维是数学思维的一个重要方面，是创 判别式定理等其逆定理都成立． 造性思维的一个重要组成部分．教师在教学中应有意识地对 例４ 已知：△ＡＢＣ中。。＝ｍ ＋ ，ｂ＝２ｒａｎ，ｃ＝ｍ 一ｎ （ｍ＞ 学生进行逆向思维的训练，逐步让他们接受逆向思维的策略 ｎ＞０）．试判断△Ａ Ｃ的形状． 和方法．本文就初中数学教学中培养学生逆向思维能力的几 分析已知三边．判定三角形形状，可考虑用勾股定理的 个方面．谈谈自己的做法． 逆定理． 一、从公式、法则的逆用中培养学生能力 证明’．‘ｍ＞ｎ＞０． 数学教学中有很多公式、法则，对于这些公式、法则的双 ’．．Ⅱ＞０．ｂ＞０．ｃ＞０． 向性学生容易理解，但很多学生只习惯于从左到右的正向使 又’．‘ ：（ｍ２＋ｎ２） ： ＋２ｍ２ｎ ＋ｎ４， 用。而对逆向运用却不习惯．因此，公式、法则的教学巾，应加 ｂ ＝（２ｒａｎ） ＝４ｍ２１２ ． 强公式、法则的逆用指导，只有正确地正用、逆用公式、法则， ｃ ＝（ｍ 一， ） ＝，ｎ 一２ｍＺｎ ＋ ， 解题才会得心应手． 。．．ｂ ＋ｃ ＝ａ２． 例１ 已知ｎ＋ｂ＝５．ｏｂ＝３．求 ＋３（曲＋ｂ 的值． 根据勾股定理逆定理知．／ｘＡＢＣ是直角三角形． 分析解此题就可逆用完全平方公式．使计算简单． 四、从解题思路的逆向分析与运用中培养学生能力 解口＋ｂ＝５．ａｂ＝３． 在解题过程中．不仅要训练学生由条件到结论的做法， ‘．．ｎ ＋５ａｂ＋ｂ ＝（ａ２＋２ａｂ＋ｂ ）＋３ａｂ＝（ｎ＋ｂ） ＋３ａｂ＝ 更要重视逆向思维的训练指导．培养学生双向思维的良好习 ５ ＋３×３＝３４． 惯，还可使问题简单化，尤其是在几何探索问题中更为突出． 椤９ ２已知３ ＝０．３ ＝ｂ．求３ ． 例５如图，／ＸＡ曰Ｃ为等边三角 分析这道题需逆用幂的运算法则． 形，Ｄ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＢ上的点，且ＣＤ： 解‘．一３：ｂ． 曰，，以／ｉＤ为边作等边三角形ＡＤＥ闻：点 。．＿３ｍ— ＝３ ÷３ ＝３ ÷（３“）０＝ａ÷ｂ ： ． Ｄ在线段ＢＣ上何处时，四边形ＣＤＥＦ Ｅ ｂ 是平行四边形．且 ，ＪＥ ＝３０。？证明你 二、从定义的逆用中培养学生能力 的结论． 曰 Ｄ Ｃ 在数学教学中定义教学是很重要的．教师应注意引导学 分析解这个题可逆用要探索的结论，先肯定四边形 生透彻理解定义，并注意根据教学内容进行定义逆用的指导 Ｃ．ＤＥＦ是平行四边形．且／＿ＤＥＦ：３０。，反向探索出Ｄ点的位置． 与训练． 解若四边形ＣＤＥＦ是平行四边形，且／＿ＤＥＦ＝３ｏｏ 例３ ｍ取何值时，分式方程… ～ ｌ＿’、＝ 会 则 ，ＪＥＦ＝ ＤＣＦ＝３０。． 一ｊ ｔ —ｊ Ｊ ’’．△ＡＢＣ是等边三角形． 产生增根？ ‘．． Ｃ曰＝６０。， Ｂ：ＣＢ． 分析解此题就要逆Ｊ｝｝ｊ方程增根定义．由定义知．使分式 ’．．方程的分母等于零的根为增根，可知 ＝３或 ＝０都是增根． ＣＦ平分 ＣＢ． ‘解去分母得 —ｍ＝２（ 一３）． ．．ＢＦ＝ ＡＢ（等腰三角形三线合一）． 肖 ＝３时，３一ｍ＝２（３—３）得ｍ＝３： ‘．ＣＤ＝ＢＦ． 当 ＝０时．０一ｍ＝２（０—３）得ｍ＝６． １ ’．ＣＤ＝ 曰Ｃ， ‘．．当ｍ＝３或ｎ ＝６时．原方程会产生增根． ．三、从定理的逆向运用中培养学生能力 ‘．．Ｄ是ＢＣ中点． 在定理教学中，应特别强调：一个命题成立．它的逆命题 即当Ｄ是线段ＢＣ中点时．四边形Ｃ，ＪＥＦ是平行四边形， 不一定成立．但是并不是说一个定理就没有逆定理．应引导 且 ＤＥＦ＝３０。 学生探求其定理逆命题的真假，让学生理解并掌握数学巾许 训练所形成的联想中直接产生新的联想和新的知识．这样就 学生的想象力和创造力，以达到事倍功半的效果．学生中很 可承上启下，触类旁通，使学生透彻理解问题．通过习题（或 大一部分只是满足问题的解决，错过一个重要而又有教益的 例题）的挖掘拓展学生掌握的不仅仅是一个问题的解决。而 机会，有许多问题都有丰富的内涵和宽广的外延，通过对题 是一类问题的解决方法，能透过问题的现象．看出问题的本 目的进一步探究，对一类问题归纳出解决方法或许能够得到 质，从而达到透彻、深刻理解知识，以不变应万变． 一些有规律的东西．在教学中，实施对习题（或例题）的挖掘 （３） 挖掘课本习题（或例题）有利于促进学生思维活 拓展和探究，可以使学生轻松愉快地学到知识，充分调动他 动，培养学乍创造性思维能力，真正达到“减负”的目的．在基 们的学习积极性，有效地发展思维，培养创新能力． 本习题（或例题）的基础上，让学生拓展原题．可以充分发挥 数学学习与研究２０１０．２
