[学生用书 P45]
→→→→→→
1．设O是▱ABCD的对角线交点，则下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；→→
④OD与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
→→
解析：选B.AD与AB不共线，故①可作为平行四边形所在平面内所有向量的一组基底；→→→→→→
又DA∥BC，故②不可以作为基底；CA与DC不共线，故③可以；OD与OB共线，故④不可以作为基底．
2.
如图所示，已知ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，则BC等于( )
11A.(a－b) B.(b－a) 22
11
C．a＋b D.(a＋b)
22
→→→解析：选D.连结AD(图略)，则AD＝AB＋AE＝a＋b， →1→1
∴BC＝AD＝(a＋b)．
22
→→→
3．AD与BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD＝a，BE＝b，则BC等于( ) 4224A.a＋b B.a＋b 33332222C.a－b D．－a＋b 3333
→2→2
解析：选B.设AD与BE交点为F，则AF＝a，BF＝b，
33
→→→→2
由AB＋BF＋FA＝0，得AB＝(a－b)，
3
→→→→24所以BC＝2 BD＝2(AD－AB)＝a＋b.
33
4．平面上两个不共线的非零向量a与b，若|a＋b|＝|a－b|，则a与b夹角为__________． 解析：以a、b为邻边作平行四边形，|a＋b|、|a－b|表示平行四边形两条对角线长相等，故是矩形．
答案：90° 1．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析：选B.由于同一平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面所有向量的基底，故①错误，而②③正确，故选B.
2．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )
→→→A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数 C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a＝λ1e1＋λ2e2，实数λ1、λ2有无数对
解析：选A.平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的．
3．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定 解析：选B.∵a＋b＝3e1－e2， ∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．
4．设e1、e2是同一平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的为( ) A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1 C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2 解析：选C.∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)， ∴4e2－2e1与e1－2e2是共线向量， ∴e1－2e2和4e2－2e1不能作基底．
→→→
5．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量一定与AD同向的是( )
a＋babA. B.＋
|a||b||a＋b|
a－babC. D.－ |a||b||a－b|
→→→
解析：选A.AB＋AC＝2 AD， →1→→1
则AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，故选A.
22
→
6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB＝a，→→
CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD＝( )
1221A.a＋b B.a＋b 33333443C.a＋b D.a＋b 5555解析：选B.
如图所示，∠1＝∠2， |CB||BD|1∴＝＝， |CA||DA|2→1→∴BD＝BA
3
1→→1
＝(CA－CB)＝(b－a)， 33
121→→→
∴CD＝CB＋BD＝a＋(b－a)＝a＋b.
333
7．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝__________.
解析：由平面向量基本定理，
3x－4y＝6，x＝6，可得解得
2x－3y＝3，y＝3，
∴x－y＝3. 答案：3
→→→1→→
8．已知△ABC中，D为AB上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝__________.
3
→→→→→
解析：AB＝CB－CA，由于AD＝2DB，
→2→2→→所以AD＝AB＝(CB－CA)．
33
在△ACD中，
→→→→2→→1→2→CD＝CA＋AD＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，
333
2∴λ＝. 32答案： 3
→→→
9．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD⊥BC于D，若AD＝λ·AB＋μ·AC，则有序实数对(λ，μ)为__________．
→→→→1→
解析：∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC
4
→1→→＝AB＋(AC－AB)
43→1→＝AB＋AC， 44
31
∴(λ，μ)＝(，) . 4431
答案：(，)
44
10.
已知如图，在△ABC中，D为BC的中点，E、F为BC的三等分点，若AB＝a，AC＝b，试分别用a，b表示AD，AE，AF.
→→→
解：BC＝AC－AB＝b－a. →→→→1→AD＝AB＋BD＝AB＋BC
2
111＝a＋(b－a)＝a＋b；
222→→→→1→AE＝AB＋BE＝AB＋BC
3
121＝a＋(b－a)＝a＋b；
333→→→→2→AF＝AB＋BF＝AB＋BC
3
212＝a＋(b－a)＝a＋b.
333
→→→→
11．在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB－sAC，求s＋r的值． 解：
如图所示，由题意， →→→4→得CD＝4 BD，∴CD＝CB.
3
→→→又∵CB＝AB－AC，
→→→→→→4→→∴CD＝(AB－AC)
34→4→＝AB－AC. 33
48
∴r＝s＝.∴s＋r＝.
33
12．用向量法证明三角形的三条边的中线相交于一点． 证明：
如图， →→→2→设AC＝a，BC＝b，AG＝AD，
31→→
则AB＝a－b，AD＝a－b，
2a→1→→
BE＝(BC＋BA)＝b－.
22
→
设AD与BE交于点G1，并设AG1＝λ AD，
→
BG1＝μ BE，
λμ
则AG1＝λa－b，BG1＝－a＋μb.
22→
又AG1＝AB＋BG1
μ
＝(1－)a＋(μ－1)b，
2
μλ＝1－22
∴，解得λ＝μ＝，
3λ
－＝μ－122→
∴AG1＝AD.即G1与点G重合．
3
2→
再设AD与CF交于点G2，同理可得AG2＝AD.
3
故点G2与点G重合，即AD、BE、CF相交于一点．
