第5讲.相似三角形的简单模型答案版

LJ

£三角形13级 相似三角形 的

三角形12级 相似三角形的 性质与判定

暑期班第五讲

简单模型

三角形14级 锐角三角函数

暑期班第六讲 暑期班第四讲

抄作业风波

中考内容与要求

中考内容 中考要求 A 了解比例的基本性质，了 解线段的比、成比例线 段，会判断四条线段是否 成比例，会利用线段的比 B C 会用比例的基本性质 解决有关冋题；会利 用图形的相似解决一 些简单的实际问题； 能利用位似变换将一 个图形放大或缩小 图形的相似 例关系求未知线段；了解 黄金分割；知道相似多边 形及其性质；认识现实生 活中物体的相似；了解图 形的位似关系 会利用相似三角形的 性相似三角形 了解两个三角形相似的 概念 质与判定进行简单 的推理和计算；会利 用三角形的相似解决 一些实际问题

三角形的相似是平面几何中极为重要的内容， 中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，

是北京中考数学中的重点考察内容， 近几年的

但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。

相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。

在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。

年份 2015 年 2016 年 2017 年 题号 3 4, 20 11, 20

4分 分值 9分 9分

根据三角形相似求 比根据三角形相似求 比

考占 相似三角形的简 单计例；三角形相似 与圆、例；三角形相似 与P八、、

算 解直角三角 形的综合 圆、解直角三角 形的

综合 1

估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将

知识互联网

相似三角形的简单模般!

和似兰角形的蘭种基本模

型］

模块 位似

知识导航 ■

位似图形：两个多边形不仅相似，而且

图 形，点0为位似中心，

那么

对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平 行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形.

位似中心：对应顶点的连线相交于一点, 这个点叫做位似中心.

位似比：相似比叫做位似比.

位似图形的性质：位似图形上的任意一 对对应点到位似中心的距离之比等于位似 比.

如图所示，已知△ ABC与厶ABC是位似

OA OB OC AB AC BC 0A 一 0B 一 0C 一 A B 一 A C 一 B C 一

（k为位似比）

【例1】 ⑴三角尺在灯泡 0的照射下在墙上形成的影子如图所示

若0A =20cm , OA・50cm，则这个三角尺的周长与 它在墙上形成的影子的周长的比是（

）

Ai

A . 5 : 2 C. 4 : 25

B . 2 : 5 D. 25 : 4

O

C

Ci

(2013西城期末)

⑵如图，在平面直角坐标系中， △ ABC的顶点坐标 分别为(4, 0)、(8, 2)、(6, 4) •已知△ A1B1C1 的两个顶点的坐标为(1 , 3)、(2, 5).若△ ABC 与厶AB!。!位似，则△ A3G的第三个顶点的 坐标为 ________ .

(2012山东威海)

⑶如图，在平面直角坐标系中，△ ABC和厶A'B'C'是以 坐标原点O为位似中心的位似图形，且点

B(3, 1),

B ' (62).

① 若点A(- , 3)，则A'的坐标为 ______ ;

2

② 若厶ABC的面积为口，则厶A'B'C'的面积=

(2013朝阳期末)

【解析】⑴B

型｛净模块二

相似三角形的两种基本模型

△ A1B1C1的第三个

⑵如图，作出位似中心，即可得出 顶点的坐标(3, 4)或(0, 4)

图形 重要结论

DE // BC u △ ADE ABC 二

AD AB

AE DE AC BC

AB OA

AB // CD ：= △ AOB s\\COD 二

CD OC

OB OD

夯实基础

【例2】 ⑴如图，在厶ABC中，DE // BC , AD =2BD , DE =6 ,

（2013石景山期末）

⑵ 如图，在△ ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下

列结论不正确的是（

）

C

A.BC=2DE

B. △ ADE ABC D. S.ABC =3S.ADE

AD AB

C.-

AE AC

【解析】⑴9

⑵D

（2012山东聊

城）

【例3】 ⑴已知菱形ABCD的边长是6,点E在直线AD上，DE =3 ,连接BE ,与对角线AC相 交于点M，

求匹的值.

AM

2

【解析】2或-.

3

提示：注意题中给出的 点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况. ① 点E在线段 AD上时，如左图， △ CBM AEM .

.MC BC o

.. --- — -- —2 ； AM AE

② 点E在AD的延长线上时，如右图，

.MC _ BC =_?

△ CMB AME ,

AM AE 3 .

E

C

⑵若D为BC中点，ED交AB于点 F，且 EF : FD=2 : 3, 试求 AF: FB的值.

【解如下图，作平行线，构造基本相似模型,

析】

AF: FB= 1：

4.

E

M

【例4】 如图，AD和BC相交于点E , AB // CD // EF . ⑴求证： △

ABC s\\ FEC , △ ACD s\\ AFE .

⑵求证： —

AB CD EF

1

D

—.

【解析】 ⑴•/ AB // CD // EF

••• ZBAC =NEFC，/ABC =/FEC

ZACD ZAFE , /ADC ZAEF

• △ ABC

FEC , △ ACD AFE

⑵ 由⑴可知 △ ABC FEC , △ ACD AFE

• EF CF EF AF …AB _ AC ，CD _ AC

EF CF AF + +

AB CD AC AC

1 1 CF AF

即EF | + 1 -

AB CD AC 1 1 • 1 +

AB CD EF

EF

【例5】一块直角三角形木板的一条直角边 平方米，要把它加工成

AB长为1.5米，面积为1.5

一个面积最大的正方形桌面. 甲、乙两位同学的加工方法如图所示， 请你用学过的知识

说明哪位同学的加工方法符合要求 （加工损耗忽略不计，计算

（2013大兴期

甲同学的加工方法好

结果中的分数可保留 ）•

..c

-ABC= ■AB BC=—,

•/ AB=

• BC=2.

【解析】

3

•••/ B=90° , 二 AC= AB BC=_.

22

2

如图甲•••四边形DBFE是正方形,

••• DE // AB .

•••△ CDEs\\ CBA . • DE _CD …AB \"CB .

设 DE=x，则 CD=2-x,

.2「x x

• • -- 二—

2

3

2

二 x= ■

如图乙过 B点作BM丄AC于点M交DE于点N, 由 SAABC= ■ AB BC= ■ AC BM， 可得BM = •/ DE // AC, • BN丄DE. •••△ BDE BAC . • DE _ BN …AC 一 BM . 设 DE=y,

5y

2--• y=20 37 30 37，

•甲同学的正方形面积大

【例6】如图1所示：等边△ ABC中，线段AD为其内角角平分线，过 D点的直线BiCi丄AC于 Ci交AB

的延长线于Bi. ⑴请你探究:

AC CD AC1 C1D AB DB ABi DBi

是否都成立?

⑵请你继续探究：若厶ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线, 一定成立吗？并证明你的判断 •

请问

AC CD AB DB

40

⑶如图2所示，在RtA ABC中，.ACB =90 , AC =8 ,

, E为AB上一点且

3

AE =5 , CE交其内角角平分线 AD于F.试求 匹 的值•

（20I2湖北黄石）

FA

图i

图2

…

AC CD AG CiD

=（i）

【牛析】易验证NB—DBT，ABi DBi

这两个等式都成立;

⑵ 可以判断结论仍然成立，证明如下:

如右图所示 从BC为任意三角形，过 B点作BE // AC 交AD的延长线于E点

•••/ E= / CAD = Z BAD ••• BE=AB

又•/ AEBDs AACD

AC

CD，又•/ BE=AB BE DB AC CD

即对任意三角形结论仍然成立

⑶如图2所示，连结ED

••• AD为AABC的内角角平分线

图2

AB DB

• CD AC 3

DB \" AB \" 5 AE 3

而 =一

EB 5 CD AE

,• DE // AC

DB EB

• ADEF s 从CF

DF EF AE FA \" FC \" AC

5 \"8

探索创新

【例7】如图，n 1个边长为

2的等边三角形有一条边在同一直线上

⑴证明:

⑵

设- △

；Sn = ________ （用含n的式子表示）.

•••△ C1C2B2和△ C2C3B3都是等边三角形

B2D1C1的面积为Si , △ B3D2C2的面积为S2，…，△ BnlDnCn的面积为 S，则

S

2

【解析】⑴

£ CC B^ = CCB =60 又CAD2 - • C3AB3

1

2

2

3

3

2

• △ ACD

2

2AC3B3

6 3

C2D2 AC2 4 2 C3 B3 AC3

⑵二,_ln .

3 ' n比

4

下列说法正确的是 ____________

⑴有两个角对应相等的两个三角形相似； ⑵两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似;

⑶三边对应成比例的两个三角形相似 • 【解析】⑴⑶.

第05讲精讲：三角形内接正方形问题探究;

三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形边上的正方形， 三角形只有3条边，所以，正方形一定有两个顶点在同一条边上， 角形的边上•

【变式1】如图，RtAABC (/C=90°中有三个内接正方形, 米，猜想DF=9厘米，GK=6厘

第三个正方形的边长 PQ的长. 【解析】GF =EF -EG =9-6 =3，设 PQ 二 x ,

正方形有4个顶点，而 即正方形一定有一条边落在三

••• GK // PQ , •••/ FKG = / KQP .

又•••/ FGK= / KPQ=90 ° FGK KPQ .

• FG GK KP PQ .

3

> >

6

6 - x x

解得x = 4 .

答：第三个正方形的边长为 4厘米.

【变式3】如图所示，四边形 EFGH是三角形ABC的内接

矩形,

AD 丄BC,垂足为 D , BC=21cm, AD=14cm,

EF : FG=1 : 2,求矩形 EFGH的面积.

【解析】如图，设矩形的边长 EF=x,则FG=2x,

•••四边形EFGH是三角形ABC的内接矩形, • EH // BC, EH = FG , • △ AEH ABC,

又••• AD 丄 BC,则 ID=x, AI 二 AD - ID ,

EH AI

,BC=21cm, AD=14cm,

BC AD

2x _14 - x \"21 14 ，

2

解得，x=6cm，即 2x=12cm, • S矩形 EFGH=EF XFG=6 >12=72cm .

o

答：矩形EFGH的面积为72cm .

【变式4】四边形ABCD为正方形，D , E在线段AC , BC

上 , 在 AB 上，如果 S ADF - S CDE -1 ,

，F

G

S BEG =3，求. ABC的面积.

2. 【解析】辅助线同变式

AF=, C匸三 x x

2

设正方形边长为x ,

BG-

x

6

由.CDE s CAB，得 9 DE

CH AB

2

x —，解得X =2 , 2 8

x x x x ••• AB =6 , CH =3,

」

2

AB CH =9

【变式5】如图，在厶ABC中，AB=5 , BC=3 , AC=4 ,

动点E （与点A、C不重合）在AC边上，

EF // AB交BC于F点.试问在 AB上是 否存在点P，使得AEFP为等腰直角三角 形？若

不存在，请简要说明理由；若存在， 请求出

EF的长.

【解析】① 如图过E （或F ），分别作AB垂线，垂足为P（或P2），当 EF 二FR（或

EF二FP2）时， （或：EFP2）为等腰直角三角形•过 C作CH _AB于

H，交EF于Q ,

贝U EF =QH，设 EF =QH =x , AB CH 二AC BC，得 CH =2.4 . ：ABC s . ：

②作EF的中垂线DP，交AB于P ,

当2DP二EF时 EFP为等腰直角三角形. 设 EF =x，贝U DP =0.5x . •/ ABC s .：EFC

x 2.4—x ，即 —= -----

AB CH 5 2.4

60 60

• - -x 一 x - ■

37 37

EF CQ

.EF CQ x 2.4 -0.5x

…

，即_ =

AB CH 5

20

解得x帀，即E—石.

2.4 1 20

【变式6】如图，在△ ABC中，/ C= 90° AC=4, BC=3，四边形DEFG为厶ABC的内接正方形, 若设正方形的边长为 x，容易算出 x的长为

60

.

如图△ ABC, 如图

37

探究与计算：

(1)

13—2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于

则正方形的边长为 __________ ;

(2)

13—3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于

则正方形的边长为 __________ .

猜想与证明：

如图13—4,若三角形内有并排的 n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于 猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明.

△ ABC，请你

△ ABC,

【解析】探究与计算:

(1)

4° ；

( 2)

60

.猜想与证明：若

三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内 接于△ ABC,正方形的边长是 如图2,过点C作CN丄AB,

吕.证明如下:

垂足为N,交GF于点

B

M .设小正方形的边长为 x. •/四边形GDEF为矩形, •••GF // AB. CM丄GF .容易算出

12

「X nx . 60

x

即—— …= 25 12n

即小正方形的边长是

CD 丄CM.GF

5 CN AB

25 12n

思维拓展训练（选

训练1.如图，把△ PQR沿着PQ的方向平移到 △ P Q R的位置，它们

重叠部分的面积是 △ PQR面积的一半，若 PQ=$2，则此三角

形移动的距离 PP ■是 )

1

A .-

2

【解析】D .

C. 1

2 -1

训练2.如图，△ ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把厶ABC分

成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积

Si , S2 , S3分别为1 , 1 , 2，则△ ABC的面积是 ________ .

【解析】设△ ABC的面积为S , 则

_

_

_ 2 _ 2 _

故 S 二 s

训练3. 如图，点P

. S； S3 1 T . 2 6 4.2 .

MN // AB 交△ ABC 的

ABC内一点，过点P作DE // BC , FG // AC ,

边于 D、E、F、G、M、N . ⑴求证： △ DFP MPG PNE . ⑵若 S\\ DFP T，

S

^ PNE

=4,

S

^ MPG

【解析】 ⑴•/ DE // BC , FG // AC , MN // AB

••• N DFP =NMPG =NPNE

ZFDP ZPMG ZNPE •••△ DFP MPG PNE

⑵ 由⑴可知 △ DFP 又 T ^ DFP =1，

S

MPG PNE

• DP ： PE ： MG =1： 2： 3 •/ DE // BC , FG // AC

••• EFDP ZABC , ZDFP ZBAC

• △ DFP BAC

DP ________ DP BC ~BM MG GC

SS

1 1

1 2 3 _6

4 DFP _ ^ ABC

•- SABC =36

训练4.已知：如图，点 Al、A、A、A4在射线OA上，点Bi、B、B3在射线OB上，且

2

AiBi // A2B2 〃 A3B3 , A2B1 〃 A3B2 若△ A2B1B2 , △ A3B2B3 的面积分别为 1 , 4,

求图中三个阴影三角形面积之和. 可得 △ ABB

2

1

2

〃 A4B3，

A3B2B3 .

A2B1 l3 B2 丿 A 'A2B2 ' 3SS1 A> Bj

SB」 A2 B2 1

2

A A，B BA A3B2B3 4 A3 B2 A3B3

A3B2B3

由 A2 Bi // A3B2 , A B1 // A2B2，可得

△ A| B1 A? A2B2A3 .

Q

• ABA

S『弋

A2B1 I 1 1A3B2『4

S^ 4B2A3

2

. 1 1 1 SS2

…^ ABA = 4 ^A2B2A = 4 工 = 2

同理，SA人3孚 =4SAABA =8 .

4

22!

•图中三个阴影三角形的面积之和

【解析】 由 AsBi // A3B2, A2B2 // A3B3 ,

=8 2 丄=10.5.

2

知识模块一位似课后演练

【演练1】 如图，在11 9的正方形网格中，

ATAB的顶点坐标分别为 T 1 , 1 , A 2 , 3 ,

△ TAB

B 4 ,2 .以点T 1 , 1为位似中心， 按TA': TA=3:1在位似中心的同侧将

放大为△ TA'B'，放大后点 A B的对应点分别为 A'、B'.画出TA'B'，并写出点 A'、B'的坐标. y

丄

yj

4, 7、10, 4 .

知识模块二 相似三角形的两种基本模型 课后演练

【演练2】如图，平行四边形

ABCD中，E是BC边上的点, 医

=2，那么鱼吐

BD于点F，如果

4

【解析】-.

9

【演练3】如图，已知DE // 【解析】I DE // AB ,

EC S

AB , OA2 =OC OE ,求证：AD // BC .

OE

OD

••• △ AOB EOD , =

OA OB

2

又••• OA =OC OE ,

OE OA OA OC OD _ OA OB ~OC

••• △ AOD s\\COB ,

• AD // BC

【演练4】 如图1图2，两个全等的等腰直角三角形中，各有一个内接正方形•如果图 方形的面积是81，求图2中正方形的面积.

图1

AEDF的面积为81，所以正方形 AEDF的边长为9 •

又••• △ ABC为等腰直角三角形 • / B 二/ C =45

故△ BDE和△ CDF是等腰直角三角形 BE =DE =DF =CF =9 --AB = AC =18

•/ Z A =/ B DG =90 , / AGF =/ B:

=45

故△ AGF •和△ BD G •都是等腰直角三角形

设 A\"G' = X，则 BG'=18 -x , F G'=T2X , D\"G\"= ?（18-x） • - 2x = j 18 —x，解得 x =6 • F G'： =6、2

•图2中正方形的面积为72 •

5】 如图，M、N为△ ABC边BC上的两点，且满足BM =MN = NC , 一条平行于

直线分别交 AB、AM和AN的延长线于点 D、E和F •求证：EF =3DE .

M , N分别作AC的平行线交AB于G、H两点，NH交AM于K ,

•/ BM =MN =NC ,

1中正

AC的

【解析】正方形【演练

【解析】过••• BG =GH 二 HA , 1

易知 HK GM , GM HN ,

2

1

…HK HN ,

1 2

A

4

1

即 — 5 KN 3

HK

又 •/ DF // HN

HK KN DE \"EF HK DE 1 KN _EF 一 3

即EF =3DE .

课后测

训练1.如图，矩形ABCD中，BE — AC于点F ,点E恰是CD的中点，下列式子成立的是(

)

EF AF

CF 1 AC 2

EF CF CF AF

【解析】D.

训练2.如图，已知平行四边形 ABCD中，过点B的直线顺 次与AC、AD

及CD的延长线相交于点 E、F、G , 若BE =5 , EF =2，则FG的长是 _______________________________________ . 【解析】10.5

训练

3.如图，把△ PQR沿着PQ的方向平移到

它们重叠部分的面积是 则此三角形移动的距离

△ PQR的位置，

△ PQR面积的 •半，若 PQ = 2 ,

PP ■是 ( )

C. 1

D . 、2 -1

1 2 A . B .

2 2

【解析】D .

第十七种品格：

成

就 雷妮与DOB

美国DOB公司总裁雷妮女士从小生活经历比较坎坷，她幼年就失去了双亲，被一位 亲戚抚养，但她的监护人却将她作为一个女佣来对待，她的童年浸满了辛酸。

在艰难的生活之中， 雷妮也曾绝望，也曾丧失信心，甚至还有过轻生的念头。 但她终 于坚持了下来, 她下定决心，以后一定要干出一番事业, 生活。

于是，她毅然离开了这个名不符实的“家” 过，被人骗过，被人抛弃过，但每当遇到困难时， 人生目标，于

曰

让自己的子女不再过这种艰苦的

，独自去闯荡天下。在这之后，她被人笑 她就会想起以前的生活和给自己定下的

次次地挺了过来。

但她终于实现了自己的目

现在，她终于取得了成功， 虽然经过了几十年长久的奋斗，

标。如今，她所创立的 DOB公司已在欧洲、中东、亚洲建立了十几个分部，成了一个小 有名气的金融投资公司。

可能你的理想多如繁星， 可能你的理想永世不变， 但是不管长大要做什么职业， 做什

么工作，对自己的要求唯有一条永远不会改变，那就是，要从小事做起，从自身做起。做 一个对社会和全人类有贡献的人!

今天我学到了