2010年高三化学复习专题测试(一)

两招破解三角形解的个数问题

学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧，下面提供“两招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解。 第一招：大角对大边 在已知三角形ABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B与角A的大小关系，然后求出B的值，根据三角函数的有界性求解。

例1. 在△ABC中，已知a3，b2，B45，求A、C及c。

解：由正弦定理，得

asinB3sin453b2， 2因为B4590，ba，所以A60或120。 当A60时，C75， sinAbsinC2sin7562sinBsin452； 当A120时，C15， cbsinC2sin1562sinBsin452。

点评：在三角形中，abABsinAsinB这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘。 c

第二招：二次方程的正根个数 一般地，在△ABC中，已知a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程

c22bccosAb2a20，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解。

例2. 如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60，∠BCD=135，求BC的长。

解：在△ABD中，设BD=x，

222则BABDAD2BDADcosBDA，

222即14x10210xcos60，

2整理得x10x960，解得x116，x26（舍去）。

由正弦定理，得

点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷。

BCBD16sinCDBsin3082sinBCDsin135。