数学选修 4-5
不等式选讲
[提升训练 C 组]
一、选择题
1．若 log x y
2，则 x
y 的最小值是（
）
A ．33 2
3
B．23
2
3
C ．3
D ．2
3
2
2
3
2． a, b,c
R ，设S
a
b
c
d
，
a b c b c d c d a d a b
则以下判断中正确的选项是（
）
A ． 0
S 1 B． 1 S 2 C ． 2 S 3
D． 3 S 4
3．若 x
1 ，则函数 y x 1 16x 的最小值为（
）
x x2 1
A．16 B． 8 C ． 4 D ．非上述状况
2
a b
2
b2
，
4．设
b a
0
，且 P
2
， M ab ，
Q
1N
，
Ra
1 1
1
2
2
a2
b2
a b
则它们的大小关系是（ ）
A．PQMNR
B．QPMNR
C．PMNQR
D．PQMRN
二、填空题
1．函数 y
3x
(x
0) 的值域是
.
x2 x 1
2．若 a,b, c
R ，且 a b c 1 ，则 a
bc 的最大值是
3．已知
1 a,b, c 1，比较 ab
bc ca 与 1的大小关系为
.
4．若 a1 2
1
的最大值为
0 ，则 a
aa
2
.
a
5．若 x, y, z 是正数，且知足 xyz( x y z) 1 ，则 ( x y)( y z) 的最小值为 ______。
，
三、解答题
2
2
2
1． 设 a,b, c
R ，且 a b
c ，求证： a3 b3 c3
2．已知 a
b c d ，求证：
1 a b b
1 c
c
1 a
a
9
d
3．已知 a, b, c R ，比较 a3
b3 c3 与 a2b b2c c2a 的大小。
4．求函数 y 3 x 5 4 6 x 的最大值。
．已知 x, y, z 5
求证：
R ，且 x y
z 8, x2
y2 z2
24
4
3
x 3 ,
4
y
3,
4
z
3
3 3
数学选修 4-5
由 log x y
不等式选讲
提升训练 C 组]
一、选择题 1． A
1
2 得 y 2 ，
x
1
x2
而 x y x
x x 1 2 2 x2
33
x x 1
2 2 x2
133332
4 2
2． B
a b c a b c b c d c d a d a b
a b 1，
a
a ，
d
c
d
a
b c d
a b c d b c d a c d a b d
a b c a b c d
1
c c ， b b ， d d
a b c a c c d a a c b c d b d d a b d b
a c c a b d d b 1 ， 1 得
a b c c d a a c a c b c d d a b d b b d
a b c d 2 ，得 S 2 ，因此 1 S 2 即
a b c b c d c d a d a b
即 S
3． B
y
x
1 16x x 1
x x2 1 x
16 x
2 16 8
4． AR 为平方均匀数，它最大 二、填空题 1． [ 3,0)
1
x
y
3x
2x x 1
1
1
．
3 2 3．
( 1 a
x 1 1
x
1 b
3 1 1
2得, x 1 ， x 0 , x
1 x x x 1
x 3 0 3 0 3 y 0
x 1 1
x
1 c2
1
)
2( 1 2 1 2 1a ) ( b c
) 3
结构单一函数 f ( x)
(b c) x b c ，1则 f ( 1) ( 1 b ) ( 1c )， (1 b)(1 c)
0 ，即 1
f ( 1) ( 1 b)( 1 c)
x 1 ， f (x) 1
1 a
0 恒建立，
因此 f ( a) (b c)a bc 1
2
0 ，即 ab bc ca 2 )，则 a
2
4． 2
2
设 a
1 a2 1 a
t( t
1 a2
t
2 ，即 a
t
2
2
再令 y a
a2
1
a2
t2 2 t(t
2) ， y'
t t2
1 0 2
即 t [ 2 ,
时)， y 是 t 的减函数，得 t
2 时， ym a x 2
2
5． 2 ( x y) ( y z)
x y 2 y
y z z x ( y x y) z
2
2
2
2z x (
b 3
y x ) y z2 zx
三、解答题 1．证明：
a, b, c
R ,
a
c
1 , 0 0
2
a c
2
b
b c
1
2
2
a13, b 3, c 3,
0
c a 2 3
a
3
b
2
3
c 3 a
( )c
b 2 ( ) 3 c
a b a b
3 1，a
c
2
3
c c
c
2．证明：
b c d, a b
0, b c 0, c d 0
( 1
)( a d ) ( 1 1 1 1 )[( a b) (b
a b b c c a a b b c c a
1c) (c
d )]
3 3
1
1
a b b
c 3 3 ( a
c a
1
b)(b
c)(c d )
9
1 a b b
1 c
1
9
2
c a a d
3．解：取两组数：
2
2
a,b, c 与 a2 ,b2 , c2 ，明显 a3 b3 c3 是同序和，
2
3
3 3
2
2
a b b c
c 是a乱序和，因此 a
[5,6] ，且 y
6
x
b
c
a b b c
c a
4．解：函数的定义域为
0
y 3
x 5 4
32 42 5
( x 5) 2 ( 6 x )2
y
max
5
5．证明：明显 x
y
8 z, xy
( x y) 2 (x2
y2 )
2
z2
8z 20
x, y 是方程 t 2 (8 z) x z2
由
8z 20 0 的两个实根，
0 得
4 3
z 4 ，同理可得
4
y 4 ，
4 3
x
4
3
