锐角三角函数—知识讲解

锐角三角函数—知识讲解

责编：康红梅

【学习目标】

1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；

2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.

【要点梳理】

要点一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

B

ca

ACb

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAA的对边a；

斜边cA的邻边b；

斜边cA的对边a.

A的邻边b锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA同理sinBB的对边bB的对边bB的邻边a；cosB；tanB．

斜边cB的邻边a斜边c

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成

.

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，，

，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A

的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成

“tanAEF”；另外，、

.

、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：

.

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常写成

、

精品文档

当角度在0°<∠A<90°间变化时，，

，tanA＞0．

要点二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° .

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45° 1 60° 要点诠释：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若

，则锐角

．

(2)仔细研究表中数值的规律会发现：

.

次为.

、精品文档

、

的值依

、

、精品文档

，而、

顺序.

正好相反、的值的

、

，、次增大，其变化规律可以总结为：

①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 要点三、锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)互余关系：.

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的值依

，

(2)平方关系： (3)倒.

数关；

系：精品文档

或

；

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；

(4)商数关系：．

要点诠释：

锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．

【典型例题】

类型一、锐角三角函数值的求解策略

1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）

.

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A．2 B． C． D．

【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D． 【解析】 解：如图：

，

由勾股定理，得

AC=，AB=2，BC=∴△ABC为直角三角形， ∴tan∠B=

=，

，

故选：D．

【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数． 举一反三：

【高清课程名称：锐角三角函数 高清ID号： 395948 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】

【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c= ，

sinA= ， cosA= ，sinB= ， cosB= ．

【答案】c= 5 ，sinA=

BcAbaC3344 ， cosA=，sinB=， cosB=． 5555类型二、特殊角的三角函数值的计算

2．求下列各式的值：

(1)（2015•茂名校级一模） 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°； (2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；

.

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(3)（2015•宝山区一模） 【答案与解析】 解：（1）原式=

=

+tan60°﹣．

12． 2×﹣3+

﹣4×（

）2+

×

(2) 原式=

=

=63；

(3) 原式=+﹣

=2=3

+﹣2

﹣+2

=322．

【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，

再进行化简．

举一反三：

【高清课程名称： 锐角三角函数 高清ID号：395948 关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】 【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B= ，

sinA= ， cosA= ，sinB= ， cosB= ．

【答案】∠B=45°，sinA=2222， cosA=，sinB=， cosB=． 2222类型三、锐角三角函数之间的关系

.

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3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣（1）试判断△ABC的形状． （2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值． 【答案与解析】

解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣

∴tanA=1，sinB=

，

|=0，

|=0

∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，

∴△ABC是锐角三角形；

（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，

∴原式=（1+

=．

【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

）2﹣2

﹣1

类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用

4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P， 若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．

【答案与解析】

连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACP＝90°， 又∵ ∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴ △PCD∽△PAB，

∴

PCCD． PAAB又∵ CD＝6，AB＝10， ∴ 在Rt△PAC中，

cosAPC

PCCD63． PAAB105【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．

锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，

.

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cosAPC

PCPCCD，PC、PA均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得． PAPAAB5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确

定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA底边BC．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定腰AB的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

(1)sad60°＝________．

(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．

(3)如图1②，已知sinA＝

3，其中∠A为锐角，试求sadA的值． 5

【答案与解析】

(1)1； (2)0＜sadA＜2；

(3)如图2所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．

设AD＝AB＝5a，由sinA22BC3得BC＝3a， AB5∴ AC(5a)(3a)4a，

∴ CD＝5a-4a＝a，BDa(3a)10a， ∴ sadA22BD10． AD5【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC

的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．

.