2021届高考数学一轮基础过关训练43：直线与方程

A．充分不必要条件 C．必要不充分条件

B．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.

2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( ) 42A.

382C.

3

解析：选C.因为l1∥l2，所以

B．42 D．22

1a6

＝≠，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：xa－232a

2

－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2的距离d＝

3

6－2382

2＝

3

.

3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为( )

A．(1，2)

C．(1，2)或(2，－1)

B．(2，1)

D．(2，1)或(－1，2)

|x－（5－3x）－1|

解析：选C.设P(x，5－3x)，则d＝＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6

12＋（－1）2

＝±2，解得x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)．

4．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )

A．2x＋3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0

B．2x－3y－12＝0 D．2x＋3y＋12＝0

x＋3＝0，

解析：选D.由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y

y－1＝0，

＝1，所以M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的|－6＋3－6||－6＋3＋c|

直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，

4＋94＋9所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.

5．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为 ( )

A．(－2，4)

B．(－2，－4)

C．(2，4) D．(2，－4)

y－2x＋4×2＝－1，

解析：选C.设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得

y＋2－4＋x2＝2×2，

x＝4，－2－1

所以BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，

4－3y＝－2，

3－2

1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋

－1－（－4）

3x＋y－10＝0，x＝2，4)，即x－3y＋10＝0.联立得解得则C(2，4)．故选C. x－3y＋10＝0，y＝4，

1

6．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范

2围是________．

y＝kx＋2k＋1，

解析：法一：由方程组 1

y＝－x＋2，22－4k

x＝2k＋1，解得

6k＋1y＝2k＋1.

1

(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行，没有交点)

2所以交点坐标为

2－4k，6k＋1.



2k＋12k＋1

2－4k2k＋1>0，

又因为交点位于第一象限，所以

6k＋12k＋1>0，11

解得－62

1

法二：如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4，

20)，B(0，2)．

而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k的动直线．

因为两直线的交点在第一象限，

所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)， 所以动直线的斜率k需满足kPA11

因为kPA＝－，kPB＝.

6211

所以－6211－， 答案：627．已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．

解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为： y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0， |2k－3－k＋2||0＋5－k＋2|

由题设有＝，

1＋k21＋k2即|k－1|＝|k－7|，解得k＝4. 此时直线方程为4x－y－2＝0.

又若所求直线的斜率不存在，方程为x＝1， 满足题设条件．

故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1. 答案：4x－y－2＝0或x＝1

8．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________． 解析：设AB的中点坐标为M(1，3)， kAB＝

4－21＝，

3－（－1）2

所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)． 即2x＋y－5＝0. 5

令y＝0，则x＝，

25

即P点的坐标为(，0)，

2

|AB|＝（－1－3）2＋（2－4）2＝25. P到AB的距离为|PM|＝

535（1－）2＋32＝.

22

113515

所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×25×＝.

222215

答案：

2

9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解：(1)因为l1⊥l2， 所以a(a－1)－b＝0.

又因为直线l1过点(－3，－1)， 所以－3a＋b＋4＝0. 故a＝2，b＝2.

(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2， 所以直线l1的斜率存在． a

所以＝1－a.①

b

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 4

所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②

b2

联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

3

10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； (2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以

1

＝3，解得λ＝或λ＝2.

2（2＋λ）2＋（1－2λ）2

|10＋5λ－5|

所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.

2x＋y－5＝0，

(2)由

x－2y＝0，

解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． 所以dmax＝|PA|＝10.