高一数学必修第二册第七章《复数》单元练习题卷9
（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 设 𝑧=−3+2i，则在复平面内 𝑧 对应的点位于 ( )
2. 已知 𝑎,𝑏∈𝐑，复数 𝑎+𝑏i=
3. 设复数 𝑧1，𝑧2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，𝑧1=3+4i，则 𝑧1𝑧2= ( )
4. 已知复数 𝑧=𝑥+𝑦i(x,y∈𝐑) 满足 ∣𝑧−2∣=√3，则 𝑥 最大值为 ( )
5. 复数 𝑧=1−i（i 为虚数单位）的三角形式为 ( )
A． 𝑧=√2(sin45∘−icos45∘) B． 𝑧=√2(cos45∘−isin45∘)
C． 𝑧=√2[cos(−45∘)−isin(−45∘)] D． 𝑧=√2[cos(−45∘)+isin(−45∘)]
6. 已知 𝑥∈𝐑，当复数 𝑧=√2𝑥+(𝑥−3)i 的模最小时，𝑧 的虚部为 ( )
A． √2
B． 2
C． −2
D． −2i
∣𝑧∣2−𝑎i
𝑦
2i1+i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
，则 𝑎+𝑏= ( )
C． 0
D． −2
A． 2 B． 1
A． −25 B． 25 C． 7−24i D． −7−24i
A． 2
1
B．
√3 3
C．
√3 2
D． √3
7. 设复数 𝑧=𝑎+2i(a∈𝐑) 的共轭复数为 𝑧，且 𝑧+𝑧=2，则复数 ( )
8. 已知复数 𝑧 满足 (1+√3i)𝑧=i，则 𝑧= ( )
A．
√32
在复平面内对应点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
−2
i
B．
i√3+ 22
C．
√34
−4
i
D．
√34
+4
i
1
9. 当 𝑧=−
A． 1
1−i√2 时，𝑧100+𝑧50+1 的值是 ( )
B． −1
C． i
D． −i
10. 若 1+√2i 是关于 𝑥 的实系数方程 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 有一个复数根，则 ( )
二、填空题（共6题）
11. 已知复数 𝑧=(2𝑎+i)(1−𝑏i) 的实部为 2，其中 𝑎，𝑏 为正实数，则 4+(2)
为 ．
12. 已知 i 是虚数单位，若复数 𝑧 满足 (𝑧−i)(1−i)=2，则 ∣𝑧∣= ．
13. 若 𝑧=−1+
14. 如果一个复数与它的模的和为 5+√3i，那么这个复数是 ．
15. 设复数
16. 在复平面内，复数 𝑧 对应的点的坐标是 (2,1)，则复数 𝑧= ．
三、解答题（共6题）
17. 已知复数 𝑧1=𝑎+3i，𝑧2=2−𝑎i（𝑎∈𝐑，i 是虛数单位）．
(1) 若 𝑧1−𝑧2 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 𝑎 的取值范围； (2) 若虚数 𝑧1 是实系数一元二次方程 𝑥2−6𝑥+𝑚=0 的根，求实数 𝑚 的值．
18. 已知两个复数集合 𝐴={𝑧∣ ∣ 𝑧−2∣ ≤2}，𝐵={𝑧∣ 𝑧=
(1) 若 𝐴∩𝐵=∅，求 𝑏 的取值范围； (2) 若 𝐴∩𝐵=𝐵，求 𝑏 的取值范围．
19. 计算：
(1)
(1+2i)2+3(1−i)
2+i
iz12
2019𝑧−25𝑧−2019
2√22000
，则 1+𝑧+𝑧+⋯+𝑧 的值为 ． 3i𝑎
11−𝑏
A． 𝑏=2，𝑐=3 C． 𝑏=−2，𝑐=−1
B． 𝑏=2，𝑐=−1 D． 𝑏=−2，𝑐=3
的最小值
=3+4i 满足（i 是虚数单位），则 ∣𝑧∣= ．
+𝑏,𝑧1∈𝐴,𝑏∈𝐑}．
；
2
(2) (1+i)2+(1−i)2； (3)
20. 已知复数 𝑧1=1+2i，𝑧2=−2+i，𝑧3=−1−2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个
顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
21. 复数 𝑧1=𝑎+5+(10−𝑎2)i，𝑧2=1−2𝑎+(2𝑎−5)i，其中 𝑎∈𝐑．
(1) 若 𝑎=−2，求 𝑧1 的模；
(2) 若 𝑧1+𝑧1 是实数，求实数 𝑎 的值．
22. 𝑚 为何实数时，复数 𝑧=(2+i)𝑚2−3(i+1)𝑚−2(1−i) 是：
(1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数．
1−√3i(√3+i)21−i1+i
．
3
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】C
【解析】由 𝑧=−3+2i，得 𝑧=−3−2i，则 𝑧 在复平面内对应的点 (−3,−2) 位于第三象限．故选C．
【知识点】复数的几何意义
2. 【答案】A
【解析】由题意得 𝑎+𝑏i=
2i(1−i)2
=1+i，
所以 𝑎=𝑏=1，𝑎+𝑏=2． 【知识点】复数的乘除运算
3. 【答案】A
【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算
4. 【答案】D
【解析】因为 ∣𝑧−2∣=√3，故 ∣(𝑥−2)+𝑦i∣=√3，即 (𝑥−2)2+𝑦2=3． 又 𝑥 的几何意义为 (𝑥,𝑦) 到 (0,0) 的斜率．
故当过原点的直线与 (𝑥−2)2+𝑦2=3 切于第一象限时 𝑥 取得最大值． 此时设切线的倾斜角为 𝜃 则 sin𝜃=故 𝑥 的最大值为 tan3=√3． 故选：D．
𝑦
π
√3，易得 2
𝑦
𝑦
𝜃=3．
π
【知识点】复数的几何意义
4
5. 【答案】D
【解析】依题意得 𝑟=√12+(−1)2=√2，复数 𝑧=1−i 对应的点在第四象限，且 cos𝜃=因此 arg𝑧=315∘，结合选项知D正确． 【知识点】复数的三角形式、复数的乘除运算
6. 【答案】C
【解析】依题意可得，∣𝑧∣=√(√2𝑥)+(𝑥−3)2=√3𝑥2−6𝑥+9=√3[(𝑥−1)2+2]，当 𝑥=1 时，∣𝑧∣ 取得最小值，此时 𝑧=√2−2i，所以 𝑧 的虚部为 −2． 【知识点】复数的几何意义
7. 【答案】A
【解析】 𝑧+𝑧=2𝑎=2⇒𝑎=1，所以对应点位于第一象限．
【知识点】复数的乘除运算、共轭复数、复数的几何意义
8. 【答案】D
【解析】因为 (1+√3i)𝑧=i， 所以 𝑧=
i1+√3ii(1−√3i)√3i)(1−√3i)√3+i． 4
∣𝑧∣2−𝑎i
∣1+2i∣2−i
√5(2+i)
5
2√55
√5i， 5
2
√2，2
=== +
=(1+=
【知识点】复数的乘除运算
9. 【答案】D
【知识点】复数的乘除运算
10. 【答案】D
【解析】由题意 1+√2i 是关于 𝑥 的实系数方程 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0， 所以 1+2√2i−2+b+√2bi+c=0，即 −1+𝑏+𝑐+(2√2+√2𝑏)i=0， −1+𝑏+𝑐=0,所以 {
2√2+√2𝑏=0,解得 𝑏=−2，𝑐=3． 故选：D．
【知识点】复数的乘除运算
二、填空题（共6题）
11. 【答案】 2√2
【解析】复数 𝑧=(2𝑎+i)(1−𝑏i)=2𝑎+𝑏+(1−2𝑎𝑏)i 的实部为 2，其中 𝑎，𝑏 为正实数，
5
所以 2𝑎+𝑏=2, 所以 𝑏=2−2𝑎. 则 4+(2)
𝑎
11−𝑏
=4𝑎+21−2𝑎=4𝑎+4𝑎≥2√4𝑎×4𝑎=2√2,
32
22
当且仅当 𝑎=，𝑏= 时取等号．
4
1
【知识点】复数的乘除运算
12. 【答案】 √5
【解析】设 𝑧=𝑎+𝑏i，(𝑎+𝑏i−i)(1−i)=𝑎+𝑏i−i−ai+b−1=a+b−1+(b−a−1)i=2，
𝑎=1,𝑎+𝑏−1=2,
所以 { 解得，{
𝑏=2,𝑏−𝑎−1=0,所以 ∣𝑧∣=∣1+2i∣=√5．
【知识点】复数的乘除运算
13. 【答案】 0
【知识点】复数的乘除运算
14. 【答案】
115
+√3i
【解析】设这个复数为 𝑥+𝑦i(𝑥,𝑦∈𝐑)， 则 𝑥+𝑦i+√𝑥2+𝑦2=5+√3i， 𝑥+√𝑥2+𝑦2=5,所以 {
𝑦=√3,所以 {
𝑥=
115
𝑦=√3,115
,
所以 𝑥+𝑦i=
+√3i．
【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义
15. 【答案】 5
【解析】设 𝑧=𝑎+𝑏i（𝑎,𝑏∈𝐑）， 因为
2019𝑧−25𝑧−2019
=3+4i，
2019𝑧−25∣所以 ∣∣𝑧−2019∣=∣3+4i∣，
即 5√(𝑎−2019)2+𝑏2=√(2019𝑎−25)2+(2019𝑏)2，
25×(𝑎2−4038𝑎+20192+𝑏2)=20192𝑎2−50×2019𝑎+625+20192𝑏2， 25(𝑎2+𝑏2)+25×20192=20192(𝑎2+𝑏2)+625，
6
√𝑎2+𝑏2=√即 ∣𝑧∣=5， 故答案为 5．
25×20192−62520192−25
=5，
【知识点】复数的乘除运算
16. 【答案】 2−i
【知识点】共轭复数、复数的几何意义
三、解答题（共6题） 17. 【答案】
(1) 由题意得，𝑧1−𝑧2=𝑎−2+(3−𝑎)i， 因为 𝑧1−𝑧2 在复平面内对应的点落在第一象限， 所以 {
𝑎−2>0,
3−𝑎>0,
解得 𝑎∈(2,3)．
2
(2) 由 𝑧1−6𝑧1+𝑚=0 得 (𝑎+3i)2−6(𝑎+3i)+𝑚=0，
即 𝑎2−6𝑎+𝑚−9+(6𝑎−18)i=0， 𝑎2−6𝑎+𝑚−9=0,所以 {
6𝑎−18=0,解得 {
𝑎=3,
𝑚=18.
【知识点】实系数一元二次方程（沪教版）、复数的几何意义
18. 【答案】
(1) 若 𝐴∩𝐵=∅，则两圆圆心 𝑑=√(𝑏−2)2+1>2+1，即 𝑏>2+2√2 或 𝑏<2−2√2．
(2) 若 𝐴∩𝐵=𝐵，则两圆圆心 𝑑=√(𝑏−2)2+1≤1，即 𝑏=2． 【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义
19. 【答案】
(1+2i)2+3(1−i)
2+i
=
−3+4i+3−3ii2+i
(1)
=2+i=
1
i(2−i)52
=5+5i.
1−i(1+i)2
+(1−i)2
1+i
==
1−i2i1+i−2
+−2i+
−1+i 2
1+i
(2)
7
=−1.
1−√3i(√3+i)2===
(√3+i)(−i)(√3+i)−i2(3)
√3+i(−i)(√3−i)41
=−4−
√3i.4
【知识点】复数的乘除运算
20. 【答案】设复数 𝑧1，𝑧2，𝑧3 在复平面内所对应的点分别为 𝐴，𝐵，𝐶，正方形的第四个顶点 𝐷
对应的复数为 𝑥+𝑦i(x,y∈𝐑)，如图．
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑥,𝑦)−(1,2)=(𝑥−1,𝑦−2)． 则 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)−(−2,1)=(1,−3)． 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=𝐵𝐶𝑥−1=1,𝑥=2,
所以 { 解得 {
𝑦−2=−3,𝑦=−1,故点 𝐷 对应的复数为 2−i． 【知识点】复数的加减运算
21. 【答案】
(1) 由 𝑎=−2，得 𝑧1=3+6i， 则 ∣𝑧1∣=√32+62=√45=3√5， 所以 𝑧1 的模为 3√5．
𝑧1+𝑧2=𝑎+5+(10−𝑎2)i+1−2𝑎+(2𝑎−5)i(2) =(6−𝑎)+[(10−𝑎2)+(2𝑎−5)]i
=(6−𝑎)+(−𝑎2+2𝑎+5)i.因为 𝑧1+𝑧2 是实数，
所以 −𝑎2+2𝑎+5=0，解得 𝑎=1±√6． 【知识点】复数的加减运算
22. 【答案】
(1) 因为 𝑧
=(2+i)𝑚2−3(i+1)𝑚−2(1−i)=2𝑚2+𝑚2i−3mi−3m−2+2i =(2𝑚2−3𝑚−2)+(𝑚2−3𝑚+2)i,
所以（1）由 𝑚2−3𝑚+2=0，得 𝑚=1，或 𝑚=2， 即 𝑚=1 或 2 时，𝑧 为实数，
(2) 由 𝑚2−3𝑚+2≠0，得 𝑚≠1，且 𝑚≠2， 即 𝑚≠1，且 𝑚≠2 时，𝑧 为虚数．
12𝑚2−3𝑚−2=0,
(3) 由 {2 得 𝑚=−2，
𝑚−3𝑚+2≠0,
8
即 𝑚=−2 时，𝑧 为纯虚数． 【知识点】复数的加减运算
1
9
