专题：反比例函数与相似综合

【考点分析】

近几年的中考数学题中，对于反比例函数与几何图形的结合的考查力度明显加大，主要考查：①平面直角坐标系中，如何把线段转化为坐标，坐标转化为含有字母的代数式，进而进行代数计算；②反比例函数与相似图形的综合题；③反比例函数与几何图形的平移。 【专题攻略】

在平面直角坐标系中，反比例函数与几何图形的综合题，最基本的解决方法是：由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标。这类题在解答时要求我们要熟练运用数学基础知识，还要能灵活运用数形结合、转化、待定系数、分类讨论等基本数学思想和方法。

【课前训练】

1、如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数y标轴上，则k= .

2、如图，A为反比例函数yk图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB＝3，则k=____

xk的图象上，另三点在坐x

第1题 第2题 第3、4题

k3、如图，已知双曲线y(k＞0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相

x交于点C．若△OBA的面积为6，则k＝____________．

k4、如图，已知双曲线y(k＞0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相

x交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．

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【典型例题】（2010年广州中考第23题） 已知反比例函数y＝（1）求m的值；

m8

的图象交于点B， m8(m为常数)的图象经过点A（－1，6）． xyA（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝

x

AB＝2BC，求点C的坐标． 第 2 页 共 6 页BCOx与x轴交于点C， 且

【变式训练】

（2014南沙区一模）如图，已知直线y4x与反比例函数y交于A、B两点，与x 轴、y轴分别相交于C、D两点．

mm>0，x>0的图象xm的解集； x（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在， 请说明理由．

y

DA

B

POC

第23题

（1）若点A的横坐标为1，求m的值并利用函数图象求关于x的不等式4x< 第 3 页 共 6 页

x

【巩固提高】

1、（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上， ∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别 与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时， 点E的坐标为 ．

2、（2013 绵阳）如图，已知矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线yk（k＞0）与矩x形两边AB、BC分别交于E、F。

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，

y证明△EGD∽△DCF，并求k的值。

解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是

AB的中点，AE=2，OA=2，，

k

点E（2，2）在双曲线y= 上，

xk=2×2=4 ,点F在直线BC及双

AEBFOGDCx44

曲线y= ，设点F的坐标为（4，f）,f= =1, x4所以点F的坐标为（4，1）.

(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的， ∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上， ∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，

∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED， △EGD∽△DCF；

k

② 设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y= 上，

xk=2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）, AE=2b,AB=4, ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b, DC=DF2-CF2 =(2-b)2-b2 =21-b ,

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DCEG2 1-b23

△EGD∽△DCF, = , = ,b= ,

DFED2-b 4-2b433

有点F（4， ），k = 4× = 3. 44

1x2分别交轴于A、C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的2一个交点,PB⊥x轴于B,且SABP9.

3、如图,直线y(1) 求证:△AOC∽△ABP； （2）求点P的坐标； （3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上,且点R在直线PB的右侧,作RT⊥x轴于T,当△BRT与△AOC相似时,求点R的坐标.

OCx轴,PBx轴解（1）

OC//PB

△AOC∽△ABP

(2)

令x0,则y2;

令y0,则x4

A（4，0），B（0，2） OA4，OC2 SAOC4

△AOC∽△ABP

y P C A O B R x T 第27题图

SOCOA AOC

SABPPBAB22 第 5 页 共 6 页

SABP9,SAOC SAOC4SABP9OC2OA2, PB3AB3PB3,AB6OB2P(2,3)p(2,3)6(3)yx

6设点R坐标为（n,）n ①当△BRT∽△ACO时,

OAOC BTRT 即

42 n26n n2n120

n1113,n2113(舍去)

②当△BRT∽△CAO时,

2OAOC RTBT即

42 6n2nn22n30 n13,n21(舍去)

综合①、②所述，n113或3

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