人教B版高中数学必修二第二章2.3.2

2.3.2 圆的一般方程

【课时目标】 1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．4．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用．

1．圆的一般方程的定义

22

(1)当______________时，方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为________________，半径为________________．

2222

(2)当D＋E－4F＝0时，方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0表示点________________．

22

(3)当______________时，方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系

2222

已知点M(x0，y0)和圆的方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)，则其位置关系如下表：

位置关系 代数关系 22点M在圆外 x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F____0 信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

点M在圆上 点M在圆内 x＋y20＋Dx0＋Ey0＋F____0 x＋y20＋Dx0＋Ey0＋F____0 2020

一、选择题

22

1．圆2x＋2y＋6x－4y－3＝0的圆心坐标和半径分别为( )

19319

A．－，1和B．(3,2)和 224

191933C．－，1和D．，－1和

2222

22

2．方程x＋y＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是( ) 1

A．1 41

C．m43．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是( ) A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0 C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝0

22

4．圆x＋y－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )

2

A．2B．C．1D．2

2222

5．已知圆x＋y－2ax－2y＋(a－1)＝0(0C．圆上D．圆上或圆外

6．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( ) A．x－y＝0B．x＋y＝0

2222

C．x＋y＝0D．x－y＝0

二、填空题

222

7．如果圆的方程为x＋y＋kx＋2y＋k＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．

22

8．已知圆C：x＋y＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．

22

9．已知圆的方程为x＋y－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

三、解答题

10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？

11．如果方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4

＋9＝0表示一个圆．(1)求t的取值范围；

(2)求该圆半径r的取值范围．

能力信达

提升

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

12．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．

22

13．求一个动点P在圆x＋y＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

2

22

1．圆的一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．

2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．

3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．

2

2

2．3．2 圆的一般方程答案

知识梳理

22

1．(1)D＋E－4F>0 －，－

22E122DD＋E－4F (2)－，－

222

22

(3)D＋E－4F<0 2．> ＝ < 作业设计

E122D1．C [由一般方程圆心－，－，半径r＝D＋E－4F两公式易得答案．]

222

22

2．D [表示圆应满足D＋E－4F>0．]

3．B [过M最长的弦应为过M点的直径所在直线．]

4．D [先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之．]

222

5．B [先化成标准方程(x－a)＋(y－1)＝2a，将O(0，0)代入可得a＋1>2a(022

6．D [圆心应满足y＝x或y＝－x，等价于x－y＝0．] 7．(0，－1)

12122

解析 r＝k＋4－4k＝4－3k．

22

22

当k＝0时，r最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x＋y＋2y＝0，

22

即x＋(y＋1)＝1，圆心坐标为(0，－1)． 8．－2

DE信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

解析 由题意知圆心－1，－应在直线l：x－y＋2＝0上，即－1＋＋2＝0，解得

22

a＝－2． 9．206

解析 点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，

1

∴|AC|＝10，最短弦BD⊥AC，∴|BD|＝46，S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝206．

2

22

10．解 设过A、B、C三点的圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，



a

aD－5E－F＝26

则5D＋5E＋F＝－506D－2E＋F＝－40D＝－4

解得E＝－2

F＝－20

，

．

2

2

所以过A、B、C三点的圆的方程为x＋y－4x－2y－20＝0． 将点D(－2，－1)代入上述方程等式不成立． 故A、B、C、D四点不能在同一个圆上．

2224

11．解 (1)方程x＋y－2(t＋3)x＋2(1－4t)y＋16t＋9＝0表示一个圆必须有： D2＋E2－4F＝4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，

2

即：7t－6t－1<0，

1

∴－7

(2)该圆的半径r满足：

D2＋E2－4F2

r＝ 42224

＝(t＋3)＋(1－4t)－(16t＋9)

32162

＝－7t＋6t＋1＝－7t－＋，

7747162

∴r∈0，，∴r∈0，． 77

222

12．解 设圆的一般方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x＋Dx＋F＝0，所以圆

2

在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；

由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2， 所以D＋E＝－2．①

又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，② 1＋9－D＋3E＋F＝0，③

由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，

22

故所求圆的方程为x＋y－2x－12＝0．

13．解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且Mx0＋3y0

是线段AP的中点，所以x＝，y＝ 22

于是有x0＝2x－3，y0＝2y．

2222

因为点P在圆x＋y＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x0＋y0＝1，

22

则(2x－3)＋4y＝1，

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

3221整理得x－＋y＝．

42

3221

所以点M的轨迹方程为x－＋y＝．

42

信达