(完整word版)高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

例3．设OA、OB、OP是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且OPmOAnOB．

【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A、B、P共线m+n=1，且OPmOAnOB成立；（2）上述条件成立A、B、P三点共线．

【证明】（1）由三点共线m、n满足的条件．

若A、B、P三点共线，则AP与AB共线，由向量共线的条件知存在实数使APAB，即OPOA(OBOA)，∴OP(1)OAOB．

令m1，n=，则OPmOAnOB且m+n=1．

（2）由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线．

若OPmOAnOB且m+n=1，则OPmOA(1m)OB．

则OPOBm(OAOB)，即BPmBA．

∴BP与BA共线，∴A、B、P三点共线．

由（1）（2）可知，原命题是成立的．

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【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．

举一反三：

【变式1】设e1，e2是平面内的一组基底，如果ABe14e2，BCe1e2，CD6e19e2，求证：A，C，D三点共线．

【解析】 因为

1ACABBC(e14e2)(e1e2)2e13e2CD3

，所以AC与CD共线．

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