函数对称性与周期性

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一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

（1）函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)

f(ax)f(ax)也可以写成f(x)f(2ax) 或 f(x)f(2ax) 若写成：f(ax)f(bx)，函数yf(x)关于直线x （2）函数yf(x)关于点(a,b)对称f(ax)f(ax)2b

上述关系也可以写成f(2ax)f(x)2b 或 f(2ax)f(x)2b 若写成：f(ax)f(bx)c，函数yf(x)关于点((ax)(bx)ab 对称 22abc,) 对称 221、 周期性：（1）函数yf(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T A、f(xT)f(x) B、f(xT) C、f(x （2）函数yf(x)满足f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx)，则可推出yf(x)的周期为2(b-a)。 （3）如果奇函数满足f(xT)f(x)则可以推出其周期是2T （4）如果奇函数

11 或f(xT)f(x)f(x)T1f(x)T1f(x))或f(x)（等式右边加负号亦成立） 21f(x)21f(x)yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以4T为周期的周期性函yf(x)满足f(Tx)f(Tx)（T0），则函数yf(x)是以2T为周期的周期性

yf(x)与yf(x)关于X轴对称。

数。如果偶函数函数。

二、 两个函数的图象对称性 1.

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y0对称。

2.

yf(x)与yf(x)关于Y轴对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x0对称。

3.

yf(x)与yf(2ax)关于直线xa对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)，即它们关于xa对称。

4.yf(x)与y2af(x)关于直线ya对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于ya对称。 5.yf(x)与y2bf(2ax)关于点(a,b)对称。

换种说法：yf(x)与yg(x)若满足f(x)g(2ax)2b，即它们关于点(a,b)对称。 6.yf(ax)与y(xb)关于直线x

ab对称。 21

1.已知函数f(x)，f(x1)是偶函数，当x1时，f(x)x，当x1时，求f(x)。

2.已知定义在R上的奇函数f(x)，f(x3)是偶函数，当x(0,3)时，f(x)2xx，当x(6,3)时，求

22yf(x)。

3.已知f(x)x2x，且函数g(x)与f(x)的图像关于下列直线或点对称，分别求出函数g(x)。 （1）x轴（2）y轴（3）原点（4）直线x1（5）直线y2

4、已知函数f(x)，f(x2)是奇函数，当x2时，f(x)x1，当x2时，求f(x)。

5、已知偶函数f(x)，f(x1)是奇函数，当x(0,1)时，

6、定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x-4)f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间[8,8]上有四个不同的根x1、x2、x3、x4，求x1x2x3x4。

2f(x)x3，当x(2,1)时，求yf(x)。

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