巧用质心和质心系求解竞赛题汇总

湖南省浏阳市第一中学（410300）张学明

应用质心和质心系解答竞赛题是一中重要的解题方法。特别是系统所受外力为零时，质心做匀速直线运动，抓住这个特点来求解有关力学问题往往能化难为易，化繁为简。下面举例说明。

例1、如图，一水平放置的圆环形刚性套槽固定在桌面上。槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别为m、m、

m3，其中m2m32m1，小球与槽壁刚12好接触，而它们之间的摩擦可以忽略不计。开始时三球处在槽中I 、II、III的位置，彼此之间距离相等，m、

2v0Im3静止。m1以初速度

v0R沿槽

2IIIII运动，R为圆环的内半径和小球半径之和。设各球间的碰撞皆为弹性碰撞。求此系统的运动周期T。 分析与解答：

此题的常规解法是逐一应用动量守恒，找出系统的运动规律。从而求出周期。该方法比较麻烦。如果注意到三个小球在运动过程中在圆的切线方向不受力。故可以认为系统的质心作匀速圆周运动。系统运动一个周期，即质心运动一个圆周。设质心的速率为v

c

2Rm1v0v0R，所以周期T20svcvcm1m2m3510

例2、在光滑水平面上有两个质量均为m的物体A和B，B上有一劲度系为k的轻弹簧。物A以速度

v0向静止的物体B运动，并开始压缩弹簧，求：从开始压缩

Av0B弹簧到最大压缩量过程中物体B的位移。 分析与解答：

先求出弹簧的最大压缩量。当两物体速度相等时，弹簧压缩量最大。此时两物体速度为v设最大压缩量为x。由动量守恒和能量守恒得：

mmv02mv （1）

1112 （2） 22mv02mvkxm222由（1）（2）得：

ACBxmv0m2k

在运动过程中相对于地面来说。A、B两物体都做复杂的变加速运动。现在以质心为参考系来研究A、B两物体的运动规律。注意到系统不受外力，质心做匀速直线运动。其中质心位

于AB两物体的中点处，质心速度

mv0v0。在质心系中，A、B两物体相对质心Cvc2m2的初速度：

v'Acv0，'v0；

v0vcvBc0vc22由于质心位于AB两物体连线的中点处。故可以将弹簧等效为两根一样的弹簧串联，劲度系

数都为2k，AB两物体在两弹簧的作用下相对质心做对称的简谐运动，两物体相对质心C的振动周期都为T，且

mT22k。当弹簧压缩量最大时，两物体相对质心C运动的距离都

是x 由于两物体振动的起始位置都是平衡位置，故运动的时间

m2所以，B物体对地的位移：

Tt42

m2k；

vTxxBvcm0424mv02k2m2k例3用长为l=1m的不可伸长的弹性轻绳系上同样的小球使它们静止在光滑的水平面上，开始弹性轻绳松弛彼此相距0.5m，现使其中一个小球沿垂直于两球球心连线方向，以速度

v00.1m/s运动。求经过3min时两球的速度为多少？ 分析与解答：

系统不受外力，系统的质心做匀速直线运动，速度

1v0v0。现以质心为参考系，vc22末两球最初开始相对质心以v速率向左和向右运动。经

021初2过

，弹性绳第一次拉直。拉

t10.5cos3053sv020C2初vc直的瞬间，遵循弹性碰撞的规律，在垂直于弹性绳方向上的分速度不变。由于两球质量相同，沿弹性绳方向分速度大小不变，方向反向。如此反复，这相当于小球在以绳长1末“碰撞”前后小球速度类似“光反射”定律。碰l1m为直径的“圆筒”中发生弹性碰撞，

后两球以v沿各自方向匀速运动，到再次拉直，又“碰撞”，如次循环。可得知两球沿边长

023的正三角形边匀速运动。

al2

在质心系中，经过t3min，球1运动了

的路程。由： 1x1v0t9m2ax12a。可得经过t3min，两球相对质心

v2c0v2931219.260vc位置如图所示，即

，速度方向如图。球2对地的速度：。

1末和2末位置，v1v2CvCvv02c2方向与质心运动方向成600角。故

； v030v22cos30m/s220球1对地的速度：

v1v1CvC，

v0方向与质心运动方向成1200，

v1c2vc故

v0v10.05m/s2例4、质量为M的粒子A以速度v运动，与质量为m的静止B

v1cv1粒子发生弹性碰撞，设M>m。求A粒子在碰撞后，相对于原运动方向最大偏角。 分析与解：

选质心为参考系，质心速度

AvvcMvMm，且质心速度不变。

Aθ在质心系中，A的初动量

mMvp1M(vvc)Mm；B粒子的初动量：

mMvp2M(0vc)Mm；

在质心系中，碰后两个粒子动量分别

'p1p2p1'p20 （1） 2'2 （2） p12p2p1'2p22M2m2M2m'。由动量守恒和能量守恒有： p1'，p2得：ppp'p'；可知A粒子在质心系中速度大小保持不变，即恒为：

1212但是方向不确定。

mv，

v1cMm现转到对地参考系来研究A粒子的运动，设A粒子碰后的速度为v ，有：1v1vCv1c

由下面矢量图可得，当v于以v为圆心的圆相切11c时，最大。且

，

v1cmsinvcMv1θv1cvcm

arcsinM