数列求和和不等式思想的习题版本

可以求和的数列一般有如下七种： 可以求积的数列则比较少，一般有：

① 常数列 ①常数列

② 等差数列 ②等比数列相乘，指数构成等差求和 n③ 等比数列 ③可以约分的数列，如等

④ 倒序相加法 n1

⑤ 错位相减法

⑥ 裂项相消法

⑦ 分组求和法

在求和中，因为常数列、等差、等比数列都十分显而易见，倒序相加法应用特点为首尾相加得较好的结论，错位相减只针对性解决等差乘除等比的情况，分组求和也特征非常明显，因此，使用最多，使用中最难以辨别的是裂项相消，下面我们针对裂项问题进行专题探讨

专题二 裂项相消问题

常见的裂项相消法有类型 包含 1 等差型

2 无理型 3 指数型 4 对数型 5 三角函数型

6 阶乘和组合数公式型 7 抽象型 8 混合型 裂项求和基本问题 1.求和：Sn11111 12233445n(n1)11111 13355779(2n1)(2n1)1111。 1447710(3n2)(3n1)11111。 13243546n(n2)112,123,,1nn11

2.求和：Sn3.求和：Sn4.求和：Sn5.求和：求数列

,的前n项和Sn.

裂项求和的特殊类型

例题1 已知数列an的首项是3，点(an,an1)在直线4x-y=0上， （1）求数列an通项；

（2）设数列an的前n项和为Sn，bnan1,(nN*)求bn的前n 项和Tn

(an13)Sn1

例题2 在1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数字构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令anlgTn （1） 求an的通项公式

（2） 设bntanantanan1，求数列bn的前n项和

例题3 化简下列两个式子

（1）122!33!nn!

22 （2）C5C62 Cn

2

xy例题4 已知f(x)f(y)f()，求证：

1xy11f()f()511

f(111)f()f() 2nn12n1例题5 已知bnn2n1，求和：Snb3b4b1b2b2b3bn2 bnbn1

快速思维训练，下列的求和应用什么方法：

1111已知数列{an}：1，，，…，，…求它的前n项和.

123n12123(2n)22. an，求它的前n 项和

(2n1)(2n1)3. 已知等差数列{an}的前3项和为6，前和为-4。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；w_w w.（Ⅱ）设bn(4an)qn1(q0,nN*)，求数列{bn}的前n项和Sn 4. 求数列

13572n1,,,,,n的前n项和. 248162sin2

2225. 计算sin1sin2sin36. 若an3nn2n,计算它的前n 项和

7. 若an2n3,bn2n,cnanbn，求cn的前n项和

3

专题3 不等式思想初步——常用放缩技巧汇总 常用的部分放缩技巧： (1)

144112 222n4n4n12n12n11211(2)1 2Cn1Cn(n1)n(n1)n(n1)n(n1)1n1115(1)11(3)

n2132n(n1)2(4)

1n2n n2(5) 2(n1n)(6) (7)

1n2(nn1)

2n2n2n2n111(n2) n2nnnnnn1n1n(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)21211n31nn21111 n(n1)(n1)n(n1)n(n1)n1n1 (8)

11n1n1n12nn111 n1n1i21j21i2j2ij(ij)(i21j1)2iji12j121

简单的放缩法证明不等式练习

例1. .求证:

4

6n111512

(n1)(2n1)49n3例2.(1)求证:1

111712(n2)2262(2n1)35(2n1)

(2)求证:11112114163n24n

224246

(3)求证:113135135(2n1)2n112462n

(4) 求证：2(

5

n11)112131n2(2n11)

作业：

Sn2(n1)。 n（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别求出an、Sn的表达式； 1设数列{an}的前n项和为Sn，a11,an111}的前n项和为Tn，求证：Tn；

54anan1SSS（3）是否存在自然数n,使得S123n(n1)22009？若存在，

23n求出n的值；若不存在,请说明理由。 （2）设数列{

6

2已知数列an中，a13，a25，其前n项和Sn满足SnSn22Sn12n1n≥3.令bn1.anan1

（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）若fx2x1，求证：Tnb1f1b2f2（Ⅲ）令Tn1b1ab2a2b3a321； bnfn（n≥1）

6，求同时满足下列两个条件的bnan（a0）

1所有a的值：①对于任意正整数n，都有Tn；②对于任意的m0,，均存66在n0N，使得n≥n0时，Tnm.

17