《抛物线的标准方程》教学设计
一．教材分析
（一）教材前后联系，地位与作用： 学生已经学习了椭圆，双曲线的定义，方程和几何性质，对坐标法已有了初步的认识，这些为学习抛物线奠定了基础，同时，对抛物线的定义，方程的学习能让学生进一步深化对坐标法的认识，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质做好铺垫。 抛物线在生产和科学技术中有广泛的应用，体现了数学与生产和科学技术的紧密联系，这就要求我们在教学中注意理论联系实际，培养学生应用数学的能力，学以致用。 （二）教学目标 根据课程标准和学生发展的需要，我确定本节课的教学目标如下： 1.知识与技能：掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线。 2.过程与方法：掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法。通过本节课的学习，提高学生观察，类比，分析和概括的能力。 3.情感，态度与价值观：通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。 （三）教学重点，难点 根据教学目标的确定，并结合学生的认知水平，我确定本节课的重点和难点如下： 重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线； （2）抛物线的四种标准方程和p的几何意义。 难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系。 二．教法与学法 （一）教法： 本节课主要采用启发引导法。在整个教学过程中，引导学生观察，分析，归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念。同时，采用多媒体辅助教学，借助多媒体快捷，形象，生动的辅助作用，突出知识的形成过程，符合学生的认识规律，也可以增加趣味。 （二）学法： 本节课从引入课题开始，尽可能让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主体作用，使学生全方位地参与问题结论的得出，教师只起到点拨作用。这样做增加了学生的参与机会，提高了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体。 三．教学过程 学习 环节 1. 类比前面学过的圆锥曲线。 动点按照某种规律移动线程的轨迹叫曲线，圆、椭圆、双曲线1
学习内容 教师 活动 1.用动画演示平面截圆锥生成圆锥曲线的学生 活动 1.观看动画思考 设计思 路 1.组织教学，为新课做
导入环 节 （6分钟） 和抛物线都是圆锥曲线。 数学史内容1：希腊的大几何学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中详细地论述了用平面截圆锥生成圆锥曲线的过程。 数学史内容2：笛卡尔创建了坐标系后，圆锥曲线逐渐产生了相应的标准方程。 问题1：你能够将圆锥曲线与其标准方程连接正确吗？ 过程 2.加入数学史内容讲解 3.显示圆、椭圆、双线曲、抛物线的标准方程及图形 多媒体演示实例及二次函数抛物线，启发比较思考 2.将圆锥曲线的图形和标准方程编号一一对应。思考抛物线的标准方程。 思考实例，回顾以前学过的抛物线（二次函数对应的图象） 准备 2.让学生了解相应的数学史 联系见过的实例和以前学过的抛物线图象 2.列举抛物线实例，复习回顾二次函数的图象，导入课题。 (1)问题2：抛物线实例；以前我们学过的什么函数的图形是抛物线？ 回答：抛物运动轨迹；二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象。 数学史内容3：意大利的科学家伽利略发现斜抛物体的运动轨迹是抛物线。 (2)问题3：（知识链接）二次函数y=8x2的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴方程是 。 (答案：向上，(0，0)，x=0) 思考：上面函数的特殊之处 回答：是抛物线在标准位置（顶点是原点，对称轴是y 轴）的方程，即方程是标准方程。 （一）引入、形成概念 1.启发思考抛物线是满足什么条件的点的轨迹，引入、形成概念。 定义：平面内与一个定点F和一条不过F的定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注意： 1.抛物线上的点“到焦点与到准线的距离相等”这一条件。可以运用转化思想解决问题。 2.如果定直线过点F，则平面上到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹是一条过点F且垂直于定直线的直线。 1.启发、提问、归纳抛物线的定义及图示（启发提问注意两点问题） 2.视频演示用“定义生（绳）成法”绘制抛物线的过程 3.展示折纸抛物线，视频演 示学生的抛物 线手工折纸 1.思考探究 2.观看绘图过程并思考 3.理解定义，思考找出抛物线的准线和点 使学生比较全面地掌握抛物线的定义 2.展示折纸抛物线，展示运用定义找出抛物线的准线和点（课本P56至P57部分） 启发思考用定义找准线，用定义找出抛物线上的点，说明过程及结论。 2
新课（二）抛物线标准方程的推导 讲解（29分钟） 1.首先建立适当的平面直角坐标系，然后求出曲线方程，最后利用曲线方程讨论曲线的几何性质。在本节课我们先建立坐标系推导抛物线标准方程。 2.问题4：抛物线标准方程的推导我们应该如何进行？ 引导启发如下基本步骤： (1)建系：取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。 (2)设P：设|KF|为p，则焦点F 的坐标为(p/2，0)，准线l的方程为x=-p/2 。 (3)设点M设d：设点M(x,y)到l的距离为d。 (4)列式: 点M在抛物线上的充要条件是|MF|=d。 1.教师指出用坐标法研究几何图形的一般步骤，启发思考 2.对抛物线标准方程的第一种形式进行启发分析，点出关键之处 3.强调P的几何定义 1.学生在学案上画图拆解每一步步骤，黑板演示 2.观察、理解分析标准方程第一种形式焦点所在轴、焦点坐标和准线方程 使得学生掌握用坐标法推导抛物线标准方程的方法，树立数形结合思想 p(x)22y2xp2. (5)化简得抛物线的标准方程： y22px（p0） 它所表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是(p/2，0)，准线方程为x=-p/2。 注意：P的几何定义，对照图示说明，P为焦点到准线的距离。 （三）抛物线标准方程的四种形式 1.对照四种形式，分析焦点轴和标准方程的关系（焦点轴是一次变量对应的坐标轴）；对照四种形式，分析焦点坐标的特点（一次项系数的正负、数值大小和焦点坐标的对应）。 2.对照四种形式，分析图形的开口方向（分析和一次变量的对应）。 提出问题，启发比较四种形式，着重引导学生观察标准形式的一次项变量及其系数与焦点坐标和准线以及开口方向的关联，说明解决问题方法有多种，可以选择一种思路 探讨学习，比较分析，完成教学案表格 通过对比思考掌握四种形式，使得学生在理解的基础上，学会总结规律，运用识记策略 3
（四）抛物线标准方程的应用 例题：课本P49例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2),求它的标准方程。 问题解决方式：可以进行白板板书示范解题步骤，也可以让学生求解，然后点评。 通过例题解决以下问题： 1.进一步深化抛物线的概念； 2.进一步让学生掌握抛物线标准方程焦点位置的判断方法。 3.已知抛物线的焦点坐标和准线方程，会求其标准方程；已知抛物线的标准方程，会求其焦点坐标和准线方程。 启发提示 运用抛物线标准方程的四种形式和总结的规律解决问题 通过例题使得学生加深对抛物线标准方程的理解 （五）课堂反馈 1.课本P49第1题 2(1)抛物线y=4x的焦点到准线的距离是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ； (2)抛物线的焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2，则它的标准方程是 。 2.课本P49第2题(2)、(3) 根据条件，写出抛物线的标准方程： (2)准线方程是x=- 指导学生进行相应练习，及时总结题型和解决思路 对照抛物线定义、标准方程形式以及例题进行练习，口答和黑板演示 通过反馈练习巩固知识点，加深理解，强调解决问题的关键点 1； 44
(3)焦点为F（-2,0）；
3. 课本P50第3题(1)、(4) 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： 2(1) y=20x; 2(4)x+8y=0;（变式练习） （六）拓展练习（两种类型） 1. （变式练习）练习册（P35第1题第1小题）抛物线y引导启发，总结题型 128x学生实际思考解答，黑板演示 的准线方程是 。 提示：注意区分抛物线的标准方程形式。 答案：y=2。 2.（转化练习）练习册（P36第2题第1小题）： 抛物线y2=4x上的点P(3，y0)到抛物线焦点F 的距离等于 。 提示：首先画出草图，然后转化为求P点到准线的距离来解答。（解决此类型题目运用数形结合方法和转化的数学思想。） 答案：解：此题可以转化为求抛物线上的P到准线的距离，准线方程为x=-1，所以点P到准线的距离为|3-(-1)|=4，即P到抛物线焦点F的距离等于4。 练习转化思想和数形结合的方法，让学生学会归类解决问题 课堂小 结 （3分钟） 作业 （1分钟） 评价以及课外学习必做题：课本P49 第2题(1)、(4) 课本P50 第3题(2)、(3) 选做题：练习册P36 B组 第3题 课本P53 习题十三 第10题 说明作业 类别以及 运用知识 明确 任务 通过本环节查漏补缺，突出重点 1.学习了抛物线的定义并推导出抛物线的标准方程。 串联知识点，2.学习了抛物线标准方程的四种形式。 明示数学方法3.给出了抛物线标准方程焦点位置的判断方法。 和思想 4.学习了抛物线标准方程的基本应用。 5.学习了运用坐标法、数形结合和转化思想解决抛物线的问题 回顾定义以及标准方程的形式，明确注意问题 将知识系统化，强化学生对重点的理解记忆 对学生课堂表现（学习状态、行为和成绩）进行价值性判断和指标评价，及时进行课堂评价 5
及时评价学生各环节学习状况 进行自我评价和自我调整 强调存在的问题和解决要求，督促学生进行自我反省，进行学习状
引导 （1分钟）
学案上的兴趣学习、手工制作及绘图思考部分 对这部分内容进行引导 了解内容 增强兴趣 态的自我调整 引导学生课外学习 6
