2-1函数及其表示
对应学生书P199
一、选择题
1．(2011·安庆模拟)函数f(x)＝ 的定义域是()
A．[3，＋∞) B.
C. D．(－∞，－3)
解析：由题意知
∴ ∴x≥3.
答案：A
f | 2．(2011·山东烟台模拟)已知函数f(x)满足f | ＝log2 | ，则f(x)的解析式是() | ||
，log2 | ＝log2x，即有 | ||||
A．f(x)＝log2x | B．f(x)＝－log2x | ||||
C．f(x)＝2－x | D．f(x)＝x－2 | ||||
解析：由log2 | 有意义可得x＞0，所以f | ＝f | |||
＝log2x， | |||||
故f(x)＝log2＝－log2x.
答案：B
3．若函数y＝f(x)的值域是 ，则函数F(x)＝f(x)＋ 的值域是()
A. B.
C. D.
解析：令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间 上是减函数，在[1,3]上是
增函数，则g ＝，g(1)＝2，g(3)＝，故值域为 .
答案：B
4．(2011·青岛模拟)已知函数f(x)＝ 则不等式f(x)≥x2的解集为()
A．[－1,1] B．[－2,2]
1
C．[－2,1] D．[－1,2]
解析：当x≤0 时，不等式f(x)≥x2化为x＋2≥x2，即当x＞0 时，不等式f(x)≥x2化为－x＋2≥x2，即综上，可得不等式的解集为[－1,1].
答案：A
所以－1≤x≤0；所以0＜x≤1.
5．已知函数f(x)的图像是两条线段(如图，不含端点)，则f ＝()
A．－ B.
C．－ D.
解析：由图像知f(x)＝
∴f ＝－1＝－，
∴f ＝f＝－＋1＝.
答案：B
6．(2008·陕西)定义在R 上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于()
A．2B．3C．6D．9
解析：f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1
＝f(0)＋f(1)，
∴f(0)＝0.
f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1
＝f(－1)＋f(1)－2，
∴f(－1)＝0.
f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1
2
＝f(－2)＋f(1)－4，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∴f(－2)＝2.
f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1
＝f(－3)＋f(1)－6，[来源:Zxxk.Com]
∴f(－3)＝6.
答案：C
二、填空题
7．若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f · －1，则f(x)＝__________.
解析：考虑到所给式子中含有f(x)和f ，故可考虑利用换元法进行求解．
在f(x)＝2f · －1中，用代替x，
得f ＝2f(x) －1，
将f ＝ －1代入f(x)＝2f · －1中，可求得f(x)＝ ＋.
答案： ＋
8．(2010·合肥模拟)已知f(x)＝
则f(2010)＝__________.
解析：由题意，得f(2010)＝f(2008)＋1＝f(2006)＋2＝…＝f(0)＋1005＝1004.
答案：1004
9．如图所示，一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则这个菜园的面积S
与其一边长x之间的函数关系式为__________．[来源:学科网ZXXK]
解析：由题意知，另一边长为 ，
所以这个菜园的面积S＝ ，且边长为正数，
所以0＜x＜L，所以S＝ (0＜x＜L).
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答案：S＝ (0＜x＜L)．
三、解答题
10．(2011·鄞州模拟)已知函数f(x)＝－ .
(1)求证：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)为定值．
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值.
解析：(1)f(1－x)＋f(x)＝－ －
＝－ － ＝－ ＝－1.
∴当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)为定值．
(2)由(1)有f(x)＋f(1－x)＝－1，
∴f(－2)＋f(3)＝－1，
f(－1)＋f(2)＝－1，
f(0)＋f(1)＝－1，
则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
11．函数f(x)＝ .
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为[－2,1]，求实数a的值．
解析：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1；
当a＝1时，f(x)＝ ，定义域为R，符合；
当a＝－1时，f(x)＝ ，定义域不为R，不合题意．
②若1－a2≠0，则令g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6，为二次函数，
∵f(x)的定义域为R，∴g(x)≥0对x∈R恒成立，
∴
∴ 解得－≤a＜1，
综合①②得a的取值范围是 .
(2)命题等价于不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为
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[－2,1]，显然1－a2≠0，
∴1－a2＜0且x1＝－2，x2＝1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两根，∴ ?
解得a＝2.
12．水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点．根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为
V(t)＝
该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．以i－1＜t＜i表示第i月份(i＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？
解析：(1)当0＜t≤10时，
V(t)＝(－t2＋14t－40)et＋50＜50，化简得t2－14t＋40＞0，解得t＜4或t＞10.又0＜t≤10，
故0＜t＜4.
(2)当10＜t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50＜50，
化简得(t－10)(3t－41)＜0，解得10＜t＜.
又10＜t≤12，故10＜t≤12.
综上，可得0＜t＜4或10＜t≤12，
故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.
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自助餐·选做题
1．若f：x→－sinx是集合A(A?[0,2π])到集合B＝{0，}的一个映射，则集合A中的元
素个数最多有()
A．4个B．5个 C．6个 D．7个
解析：∵A?[0,2π]，由－sinx＝0得x＝0，π，2π；
由－sinx＝，得x＝ | ， | ， |
∴A中最多有5个元素.
答案：B
2．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a，b都有f(a)－f(a－b)＝b(2a－b＋1)，则f(x)的解析式可以是()
A．f(x)＝x2＋x＋1 B．f(x)＝x2＋2x＋1
C．f(x)＝x2－x＋1 D．f(x)＝x2－2x＋1
解析：令a＝b，则f(a)－f(0)＝a·(a＋1)＝a2＋a，
∴f(a)＝a2＋a＋1，∴f(x)＝x2＋x＋1.
答案：A
3．(2010·广东实验中学期中)给出下列四个函数的图像：
它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条：①对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)f(y)成立；
②对任意实数x，y都有 ＝f(y)成立；
③对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立；
④对任意实数x都有f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)成立．
则下列对应关系最恰当的是()
A．a和①，d和②，c和③，b和④
B．c和①，b和②，a和③，d和④
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C．c和①，d和②，a和③，b和④
D．b和①，c和②，a和③，d和④
解析：图像c可认为是幂函数y＝x的图像，故满足性质①；图像b为指数函数的图像，
故满足性质②；图像a为正比例函数的图像，故满足性质③；图像d对应性质④.
答案：B
4．设f(x)＝若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则函数y＝g(x)的值域是()A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：右图为f(x)的图像，由图像知f(x)的值域为(－1，＋∞)，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，只需g(x)∈(－∞，－1]∪[0，＋∞).
答案：B
5．(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域；
(3)已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．[来源:Zxxk.Com]
解析：(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，
∴要使f(x2)有意义，需使0＜x2＜1，
即－1＜x＜0或0＜x＜1，
∴函数f(x2)的定义域为{x|－1＜x＜0或0＜x＜1}．
(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，即其中的自变量x的取值范围是0＜x＜1.
令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f(t)的定义域为{t|1＜t＜3}，∴函数f(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(3)∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，∴－2≤x≤3.
令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为{t|－1≤t≤4}，
即f(x)的定义域为{t|－1≤x≤4}，
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要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－ | ≤x≤－ | 或 | ≤x≤ | ， |
∴函数f(2x2－2)的定义域为
{x|－ | ≤x≤－ | ，或 | ≤x≤ | }．[来源:学,科,网Z,X,X,K] |
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