2013高三数学总复习4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式

4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式

基础巩固强化

1.已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为

()

A．－ B．－

C. D.

[答案]A

[解析]由条件知，π＝a1＋a5＋a9＝3a5，∴a5＝，

∴cos(a2＋a8)＝cos2a5＝cos ＝－cos ＝－，故选A.

2．(文)(2012·大纲全国文)已知α 为第二象限角，sinα＝，则sin2α

＝()

A．－ B．－

C. D.

[答案]A

[解析]此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式．∵sinα

＝，α∈( ，π)，∴cosα＝－

×(－)＝－ .

[点评]使用同角基本关系式求值时要注意角的范围．

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(理)(2011·河北石家庄一模)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝ ，

则sinα－cosα 的值为()

A．－ B．－

C. D.

[答案]D

[解析]∵sinα＋cosα＝

，0<

<1,0<α<π，

∴<α<π，∴sinα－cosα>0.

∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，

∴2sinαcosα＝－；

∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，

∴sinα－cosα＝ .

3．(文)已知角α 的终边经过点P(sin2θ，sin4θ)，且cosθ＝，则

α 的正切值为()

A．－ B．－1

C. D．1

[答案]B

[解析]tanα＝

＝

＝2cos2θ

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＝2(2cos2θ－1)＝2(2× －1)＝－1，故选B.

(理)已知向量a＝(tanα，1)，b＝(则点P 在()

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案]D

[解析]∵a∥b，∴tanα＝－ ，

∵α∈(π，2π)，∴α＝ ，

∴cos ＝cos ＝cos >0，

sin(π－α)＝sin ＝－sin <0，

∴点P 在第四象限．

4．(2011·绵阳二诊、长春模拟)已知tanθ>1，且sinθ＋cosθ<0，

则cosθ 的取值范围是()

A．(－	，0)	B．(－1，－		)
C．(0，	)	D．(	，1)

[答案]A

[解析]如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋

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5．已知tan140°＝k，则sin140°＝()

A. B.

C．－ D．－

[答案]C

[解析]k＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，

∴tan40°＝－k，∴k<0，sin40°＝－kcos40°，

sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，

∵sin240°＋cos240°＝1，∴k2cos240°＋cos240°＝1，

∴cos40°＝ ，∴sin40°＝.

6．(文)(2011·重庆诊断)已知2tanα·sinα＝3，－<α<0，则cos

的值是()

A．0 B.

C．1 D.

[答案]A

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[解析]∵2tanαsinα＝3，∴ ＝3，

即 ＝3，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，

∵|cosα|≤1，∴cosα＝，

∵－<α<0，∴sinα＝－，∴cos

＝cosαcos ＋sinαsin ＝× － × ＝0.

(理)(2012·广东六校联考) 的值为()

A．－ B．－

C. D.

[答案]C

[解析]原式＝

＝

＝

＝

＝，故选C.

7．(文)(2011·山东烟台模拟)若sin(π＋α)＝，α∈(－，0)，则tanα

＝________.

[答案]－

[解析]由已知得sinα＝－，

又α∈(－，0)，所以cosα＝

＝

，

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因此tanα＝

＝－

.

(理)(2011·盐城模拟)已知cos(－α)＝________.

[答案]－

[解析]∵－π<α<－，∴－ < ＋α<－ ，

∵cos(＋α)＝，∴sin( ＋α)＝－ ，

∴cos(－α)＝cos[ －( ＋α)]

＝sin(＋α)＝－ .

8．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan(α－

)＝________.

[答案]－3

[解析]∵a∥b，∴cosα＋2sinα＝0，∴tanα＝－，

∴tan(α－)＝	＝	＝－3.	，c＝	cos81°＋sin99°，
9．设a＝	，b＝

将a、b、c 用“<”号连接起来________．

[答案]b<c<a

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[解析]a＝	＝	＝	＝sin140°，
b＝			＝sin142°，

c＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°，

∵y＝sinx 在(90°，180°)内单调递减，∴a>c>b.

10．(文)已知三点：A(4,0)，B(0,4)，C(3cosα，3sinα)．

(1)若α∈(－π，0)，且| |＝| |，求角α 的值；

(2)若· ＝0，求 的值．

[解析](1)由题得 ＝(3cosα－4,3sinα)， ＝(3cosα，3sinα－4)，

由| |＝| |得，(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4)2?sinα

＝cosα，

∵α∈(－π，0)，∴α＝－ .

(2)由· ＝0 得，3cosα(3cosα－4)＋3sinα(3sinα－4)＝0，

解得sinα＋cosα＝，两边平方得2sinαcosα＝－ ，

∴＝ ＝2sinαcosα＝－ .

(理)已知tan(α＋)＝2，α∈(0，)．

(1)求tanα 的值；

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(2)求sin(2α＋	)的值．	，tan(α＋)＝2，∴	＝2.解
[解析](1)∵tan(α＋)＝

得tanα＝.

(2)由tanα＝，α∈(0，)，可得sinα＝ ，cosα＝ .因此sin2α

＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝，sin(2α＋ )＝sin2αcos ＋

cos2αsin ＝－× －× ＝ .

[点评]求第(2)问时，可由tanα＝得，sin2α＝ ＝

＝，cos2α＝ ＝ ＝，再求sin(2α＋ ).

能力拓展提升

11.(2013·浙江金华一中12 月月考)△ABC 的内角A 满足tanA－

sinA<0，sinA＋cosA>0，则角A 的取值范围是()

A．(0，) B．( ，)

C．( ，π) D．( π，π)

[答案]C

[解析]由tanA－sinA<0 及A 为△ABC 的内角知，A 为钝角，排

除A、B；再由sinA＋cosA>0 知，A< ，排除D，选C.

[点评]①可取特值检验，取A＝，，排除A、B、D；

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②可利用单位圆中的三角函数线求解．

12．在△ABC 中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知

a、b、c 成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝，则△ABC 的面积为()