对应学生书P277
一、选择题
1．(2011·聊城质检)当圆锥的侧面积与底面积的比值是
()
A．45° B．60°
C．90° D．120°
时，圆锥的轴截面的顶角等于
解析：画出圆锥的轴截面并作底边上的高，如图，设圆锥的底面半径为r，侧棱长为l，
则侧面积等于πrl，底面积等于πr2，由于πrl∶πr2＝ | ，所以l＝ | r.于是圆锥的高AD＝ |
r，所以∠DAC＝45°，故圆锥轴截面的顶角为90°.
答案：C
2．圆台上、下底面面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积为()
A.π B．2 π
C.π D. π
解析：由题意可得，圆台的上、下底面半径分别为1、2，母线长为2，从而高为 .由
体积公式可得这个圆台的体积为 π.
答案：D
3．(2010·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()
A．280 B．292
C．360 D．372
解析：由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积
为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152.又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为
232＋152－2×6×2＝360.
答案：C
4．(2007·宁夏、海南)已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，
可得这个几何体的体积是()
A. cm3 B. cm3
C．2000 cm3 D．4000 cm3
解析：根据三视图可得这个几何体的实物图如图，V＝×20×20×20＝ | (cm3). [来源:学科网] |
答案：B
5．(2011·东营质检)有一个正三棱柱，其三视图如图所示：
则其体积等于()
A．3cm3 B．1cm3[来源:学科网]
C.cm3 D．4cm3
解析：由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于主视图和左视图的高 cm，若
设该正三棱柱的底面边长为acm，则有a＝2，所以a＝ ，故该正三棱柱的体积为V＝
·· 2·＝4(cm3)，选D.
答案：D
6．(2011·潍坊月考)如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯
视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为()
A. | π | B. | π |
C. | π | D. |
解析：依题意知，该几何体是一个圆锥，圆锥的底面半径等于1，轴截面是一个边长为
2 的正三角形，所以圆锥的高等于 | ，于是圆锥的体积为·π·12· | ＝ | π，选A. |
答案：A[来源:学|科|网Z|X|X|K]
二、填空题
7．(2010·天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．
解析：该几何体为底面是直角梯形的四棱柱，V＝ ×1＝3.
答案：3
8．(2008·天津)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4 π，则该正方体的表面积为________．
解析：令球半径为r，πr3＝4 | π，∴r＝ | .正方体的体对角线为球的直径，则令正方 | ||
体边长为a, | a＝2 | ，∴a＝2， | ||
∴S表＝6a2＝24.
答案：24
9．(2011·东莞月考)一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的体积是__________．
解析：该几何体是一个圆锥，其体积为
V＝·π·32·4＝12π(cm3).
答案：12πcm3
三、解答题
10．(2007·广东)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、
高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解析：(1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO＝4，O点是AC与BD的交点，如下图所示．
∴该几何体的体积V＝×8×6×4＝.
(2)如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB 中，HE＝ | ＝ | ＝5， |
∴S△HAB＝×AB×HE
＝×8×5
＝20，
侧面HBC中，
HF＝ | ＝ | ＝4 | ， | ， |
∴S△HBC＝×BC×HF＝×6×4 | ＝12 | |||
∴该几何体的侧面积
S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋24 .
11．(2011·滨州模拟)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解析：(1)直观图如图所示：
(2)方法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以
A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，
则AA1EB是正方形，
∴AA1＝BE＝1m.
在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1m，
∴BB1＝m.
∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD [来源:学科网]＋S矩形A1B1C1D1
＝1＋2××(1＋2)×1＋1× ＋1＋1×2
＝7＋ (m2)．
∴几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)，
∴该几何体的表面积为(7＋ | )m2，体积为 m3. |
方法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，
V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh
＝×(1＋2)×1×1＝(m3)．
∴几何体的表面积为(7＋ )m2，体积为m3.
12．(2008·宁夏、海南)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
(3)在所给直观图中连接BC′，证明BC′∥面EFG.
解析：(1)如图．
(2)所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥
＝4×4×6－× ×2
＝(cm3)
(3)证明：在长方体ABCD－A′B′C′D′中，
连接AD′，则AD′∥BC′.
因为E、G分别为AA′、A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′.又BC′?平面EFG，所以BC′∥面EFG.
自助餐·选做题
1．(2010·辽宁)已知S、A、B、C是球O表面上的点，若SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于()
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析：如图所示，A、B、C三点在一小圆面上，
∵AB⊥BC，AC为斜边，
∴小圆的圆心为AC的中点D.
∵SA＝AB＝1，BC＝ | . | ，[来源:学|科|网] | |
∴AC＝ | ，AD＝ | ||
∵S、A、B、C都在球面上，取SC的中点O，∴DO∥SA.
∵SA⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC，∴O为球心，SO为半径．∵SC＝＝2，∴SO＝1，∴球O的表面积为4π.
答案：A
2．(2010·北京)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，
动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则
四面体PEFQ的体积()
A．与x，y，z都有关
B．与x有关，与y，z无关
C．与y有关，与x，z无关
D．与z有关，与x，y无关
解析：因为四面体PEFQ的体积只与底面面积和高有关，若以△PEF为底面，则边长EF
为定值，△PEF的高为A1P＝ ，四面体的高为点Q到平面PEF的距离．因为
DC∥EF，所以点Q到平面PEF的距离为直线CD到平面PEF的距离，与Q的位置无关．综
上所述，四面体的体积与E，F及Q的位置无关，所以与x，y无关.
答案：D
3．(2010·全国Ⅰ)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四
面体ABCD的体积的最大值为()
A. B.
C．2 D.
解析：如图所示，OA、OB、OC、OD四条线段把四面体ABCD分成四个三棱锥，且三
棱锥B－ODC与A－ODC同底，三棱锥D－AOB与C－AOB同底．在三棱锥B－ODC和A
－ODC中，底面积为·22＝ ，高分别为B到平面ODC的距离与A到平面ODC的距离，
只有AB⊥平面ODC时，两距离之和才能取得最大值2，于是其体积和最大值为× ×2＝
.同理可得三棱锥D－AOB 与C－AOB 的体积和的最大值为 | .故四面体ABCD 的体积 | |
的最大值为 | . | |
答案：B
4．(2010·湖北)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是__________cm.
解析：设球的半径为rcm，则πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r，解得r＝4.
答案：4
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