2013高三数学总复习：6-3等比数列及其前n项和（Word有详解答案）

对应学生书P255

一、选择题
1．(2010·天津)已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，

解析：若q＝1，则由9S3＝S6，得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.[来源:学科网]

由9S3＝S6，得9× ＝ ，解得q＝2.

故an＝a1qn－1＝2n－1， ＝n－1.

于是数列 是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝

＝ .

答案：C
2．(2010·安徽)设{an}是任意等比数列，若它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析：由题意，知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.

又∵{an}是等比数列，

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列．
即X，Y－X，Z－Y为等比数列．

∴(Y－X)2＝X(Z－Y)．

即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY.

∴Y2－XY＝ZX－X2.

即Y(Y－X)＝X(Z－X)，∴选D.

答案：D
3．(2010·江西)等比数列{an}中，若a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()
A．26 B．29
C．212 D．215

解析：∵{an}是等比数列，且a1＝2，a8＝4，

∴a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝84＝212.

∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，

∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数．

∴f′(0)＝a1a2a3…a8＝212.

答案：C

4．(2011·广东汕头模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则 等于

()
A．－3 B．5 C．－31 D．33

解析：由题意知，公比q≠1，＝ ＝1＋q3＝9，

∴q＝2， ＝ ＝1＋q5＝1＋25＝33，故选D.

答案：D
5．(2011·天津和平区质检)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则

等于()

A. B.

C. D.

解析：设公比为q，则由an＋1＜an知，0＜q＜1，

由a2·a8＝6，得a52＝6.

答案：D

6．(2011·天津滨海新区五校联考)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝

(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5 ，P与Q的大小关系是()

A．P≥Q B．P＜Q

C．P≤Q D．P＞Q

解析：P＝log0.5 ＝log0.5 ，Q＝log0.5 ，

由 ＞ (q≠1，a3≠a9)，

又y＝log0.5x在(0，＋∞)上递减，

答案：D

二、填空题

7．(2009·北京)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝__________；前8

项的和S8＝__________.(用数字作答)

解析：由a1＝1，an＋1＝2an，知an＝2n－1.故a5＝24＝16.S8＝ ＝28－1＝255.

答案：16255

8．(2009·浙江)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则 ＝__________.

解析：由S4＝ ，a4＝a1·q3，则 ＝＝15.

答案：15[来源:Zxxk.Com]

9．(2009·江苏)设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数

列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝__________.

解析：由题意，等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数

列的定义知，

四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.

答案：－9
三、解答题
10．(2011·浙江嘉兴模拟)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，{bn}为等差数列且各项均为正数，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，T3＝15.

(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.

解析：(1)a2＝2S1＋1＝3＝3a1，[来源:学。科。网]

当n≥2时，an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，

∴an＋1＝3an，即 ＝3.

∴{an}是公比为3的等比数列．

(2)由(1)得an＝3n－1，
设{bn}的公差为d(d＞0)，∵T3＝15，∴b2＝5.

依题意有(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)，[来源:学§科§网]

∴＝(5－d＋1)(5＋d＋9)，
d2＋8d－20＝0，得d＝2，或d＝－10(舍去)．

故Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.

11．(2010·陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；[来源:学科网ZXXK]

(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
解析：(1)由题设知公差d≠0.

解得d＝1，或d＝0(舍去)．

故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得

Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝ ＝2n＋1－2.

12．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an－n}是等比数列；