概率学经典计算题

1.(袋中有红球6个,白球4个,从中取两次,每次任取一个,作不放回抽

样.设事件A表示“第一次取的是红球”,事件B表示“第二次取的是白球”,

用A,B表示下列事件,并求其概率:1)两个都是红球; 2)两球中，白球和

红球各有一个; 3)第二次取的是红球.

解：1)

P AB

)

?

C 6 2

?

1

................................................(5’)

C 10 2

3

2)

P AB

)

?

C C 4 1 6 1

?

8

.....................................................(10)

C 10 2

15

A 6 2

?

3

......................................................(15’)

3）

P B ( )

?

A A 4 1 6 1

?

A 10 2

5

2．(7分)某宾馆大楼有3部电梯，通过调查，知道某时刻T，各电梯正在

运行的概率均为0.8，求：(1)在此时刻恰有一台电梯运行的概率；

(2)在此时刻至少有一台电梯运行的概率.

解：(1)P?3?0. 8?0. 2 2?0. 096。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3’)

(2) P?1?0. 2 3?0. 992。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(7’)

3．（8分）某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，如果每个车间

的次品率分别为6%,3%，2%，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产

量的25％，25％，50%。现从全厂产品中任取一件产品，求取到的为次

品的概率。

解：设AA A 12 3分别表示“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的”

B表示“取到的产品为次品”，则

PA 1)?25%,( PA 2)?25%,( PA 3)?50%

PB A 1)?6%,( PB A 2)?3%,( PB A 3)?2%。。。。。。。。。。。。。。。。。(3’)

由全概率公式，所求概率为

? ?	P B ( )		3 ?? i?1			P A P B A i i			)
	25% 6%			?	25% 3%		?	50% 2%
	3.06%	。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(8’)

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4. (8 分) 设随机变量

X

在区间

[

0

,?]

上服从均匀分布，求随机变量

Y

?

sin

X

的概率密度

f

Y

( )

．

解：当

0

?

y

?

1

时，

F Y

( )

?

P sinX

?

y }

?

P {0

?

X

?

arcsin }

?

P {??

arcsin

y

?

X

?

?}

?

?

arcsin

y

1

dx

?

? ???

arcsin

y

1

dx

?

2

acrsiny

； …………… (3’)；

0

?

?

?

当

y ?

0

时，

F Y

( )

?

P sinX

?

y }

?

0

；

当

y ?

1

时，

F Y

( )

?

P sinX

?

y }

?

1

。

…………… (5’)；

于是，

f

Y

( )

?

?????

?

2

, 0

?

x

?

1;

…………… (8’；

1

?

y

2

0 ,

其它.

1. (12 分) 设

(

X

,

Y

)

的联合分布律为

X

Y

1

2

3

1

0 . 18

0 . 3

0 . 12

2

0 . 12

0 . 2

A

(1) 求

A

；(2) 求

X

,

Y

的边缘分布律; (3) 问

X

与

Y

是否相互?

解：(1)

A

?

1

?

(

0 . 18

?

0 . 3

?

0 . 12

?

0 . 12

?

0 . 2 )

?

0 . 08

。。。。。。。。。。。。。。。。

(4’)

(2)

X

的边缘分布律为

X	1	2
p	0.6	0.4

Y	的边缘分布律为	(3) 直接验算可知
	Y 1 2 3 p 0.3 0.5 0.2

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P

(

X

?

a

,

Y

?

b

)

?

P

(

X

?

a

)

P

( Y

?

b

)

因此

X

与

Y

相互.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(12’)

2. (10 分) 设随机变量

X

具有分布函数

F

(

x

)

?

??? ??

0 ,

0

x

?

0

1

x

3

,

?

x

?

1 ,

x

?

1

求: (1)

P

(

?1

?

X

?

1

)

；(2)

X

的概率密度函数

f

(x

)

；(3) 数学期望

E

(X

)

.

2

解：(1)

P

(

?1

?

X

?

1

)

?

F

(

1

)

?

F

(

?1 )

?

1

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3’)

2

2

8

(2)

f

(

x

)

?

?3 ? ?

x

2

,

0

?

x

?

1

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(6’)

0 ,

其其

(3)

E

(X

)

?

?

?

?

xf

(

x

)

dx

?

?

1

3

x

3

dx

?

3

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(10’)

?

?

0

4

3.(10分)在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险.在1年内

每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，

死亡时家属可以从保险公司领取2000元.试用中心极限定理求保险公司

亏本的概率.

解：设1年内的死亡人数为X，则

X~B(n,p)，n?3000，p?0. 001。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2’)

X?np

由棣莫弗-拉普拉斯定理，Y?近似服从N(0,1)。。。。。。。。。。。。(4’)

np(1?p)

所求概率为P(2000 X ?30000)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(6’)

X?np 15?3

?P(X?15)?P( ? )

np(1?p) 3?0. 999

???(6.9)?0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(10’)

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