2013高三数学总复习：13-3几何概型（Word有详解答案）

对应学生书P329

一、选择题

1．(2009·山东)在区间上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为()

A.B.C.D.

答案：A

2．(2009·辽宁)ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内

随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()

A. B．1－ C. D．1－[

解析：如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P

＝ ＝1－.

答案：B

3．(2010·临沂一中期末)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内

任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是()

解析：当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，

P＝1－＝.

答案：A

内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率

答案：B
二、填空题
7．(2008·江苏)在平面直角坐标系xOy中，设F是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向F中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．

解析：如图：区域F表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位

答案：

答案：

9．(2009·常熟模拟)若随机向一个边长为2的正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率是__________．

解析：设内切圆半径为r，则

r(2＋2＋2)＝×2×2sin60°，∴r＝ ，

∴内切圆的面积为S内切圆＝πr2＝π，
三角形的面积为S△＝×2×2sin60°＝，
由几何概型可得，豆子落在三角形内切圆内的概率为

三、解答题

10．(2011·宁波调研)如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q

且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．

，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超

(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中

第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．

事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为：

P(A)＝ ＝.[

(2)试验的全部结果所构成的区域为：

{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．

构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．

所以所求的概率为P(A)＝ ＝.

12．(2011·铜陵月考)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的

六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具

连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．

(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；

(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒

一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．

解析：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、

(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共

4个，故所求概率为P＝.

(2)∵区域M的面积为4，而区域C的面积为10π，

自助餐·选做题

，若a是从区间[0,2]上任取的一个数，b

解析：令t＝ax2－bx＋1，函数f(x)在[1，＋∞)上递增，根据复合函数单调性的判断方法，

则t＝ax2－bx＋1须在[1，＋∞)上递增，故－ ≤1，即2a≥b.

由题意，得 画出图示得阴部分面积．

∴概率为P＝ ＝.

答案：

2．(2011·滨海模拟)已知直线l1：y＝x，l2：y＝2x，l3：y＝－x＋6和l4：y＝0，由l1，

l2，l3围成的三角形区域记为D，一质点随机地落入由直线l2，l3，l4围成的区域内，则质点

落入区域D内的概率为__________．

解析：设直线l2与l3，l1与l3，l3与l4的交点分别是A，B，C，则区域D为三角形

AOB，l2，l3，l4围成的区域为三角形AOC，

由 得A(2,4)，

由 得B(3,3)，

由 得C(6,0)，

∴S△AOC＝×4×6＝12，

S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝12－×3×6＝3，

由几何概型，得质点落入区域D内的概率为

答案：

3．(2011·广东模拟)在半径为1的圆的一条直径上取一点，过这个点作垂直于直径的弦，

则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是__________．

解析：记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形

BCD的顶点B的直径BE上任取一点F，过F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边

三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于，由几何概型公式得P(A)

＝ ＝.

答案：

4．(2010·临沂高新区期末)甲、乙两艘轮般驶向一个不能同时停泊两艘轮般的码头，它

们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．

(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空

出的概率；

(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船

不需要等待码头空出的概率．

解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，

则0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4.

作出区域

设“两船无需等待码头空出”为事件A，

(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y≥2或y－x≥4.

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域