对应学生书P2
一、选择题
1．(2010·淄博模拟)直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是()
A．[0，π) B. ∪
C. D. ∪
解析：k＝ ＝1－m2≤1，又k＝tanα，0≤α＜π，
所以直线l的倾斜角的取值范围为 ∪ .
答案：D
2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a、b满足()A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
解析：∵sinα＋cosα＝0，α是倾斜角，∴tanα＝－1，
∴k＝－＝tanα＝－1，∴a－b＝0.
答案：D
3．(2011·郑州月考)直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1,0)，且它的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为()
A．y＝6x＋1 B．y＝6(x－1)
C．y＝(x－1) D．y＝－(x－1)
解析：由tanα＝3可求出直线l2的斜率
k＝tan2α＝ ＝－，
再由l2过点(1,0)即可求得直线方程y＝－(x－1).
答案：D
4．(2011·金华调研)若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1 在x 轴上的截距为1，则实 |
数m等于()
A．1 B．2
C．－ D．2或－
解析：当2m2＋m－3≠0时，
在x轴上截距为 ＝1，即2m2－3m－2＝0，
∴m＝2或m＝－.
答案：D
5．(2011·中山模拟)直线ax＋y＋1＝0与连接A(2,3)、B(－3,2)的线段相交，则a的取值范围是()
A．[－1,2] B．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：直线ax＋y＋1＝0过定点C(0，－1)，
当直线处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，
应满足－a≥ | 或－a≤ | ，即a≤－2 或a≥1. |
答案：D
6．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为()
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
解析：设直线的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
则有＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋4＝9，
当且仅当＝，即a＝3，b＝6时取“＝”]
∴直线方程为2x＋y－6＝0.
答案：B
二、填空题
7．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是__________．
解析：设直线AB的倾斜角为2α，则直线l的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0°≤α
＜90°，由tan2α＝ ＝，得tanα＝，即直线l的斜率为.
答案：
8．过点P(1,2)，在x轴，y轴上截距相等的直线方程为____________________．
解析：设所求直线l在x轴，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即直线l过点(0,0)和(1,2)，
∴直线l方程为y＝2x；
若a≠0，设直线l方程为x＋y＝a，则a＝1＋2＝3，
∴直线l方程为x＋y－3＝0.
综上，所求直线l的方程为y＝2x或x＋y－3＝0.
答案：y＝2x或x＋y－3＝0.
9．已知点A(2,3)，B(－5,2)，若直线l过点P(－1,6)，且与线段AB相交，则直线l倾斜角的取值范围是__________．
解析：如图所示，
kPA＝＝－1，
∴直线PA的倾斜角为 ，
kPB＝＝1，
∴直线PB的倾斜角为，
从而直线l的倾斜角的范围是 .
答案：
三、解答题
10．(2010·芜湖模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解析：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝ (x＋1)．
故所求直线AB的方程为x＝－1或y－2＝ (x＋1)．
(2)当m＝－1时，α＝；
当m≠－1 时，m＋1∈ | ∪(0， | ]， | ||
∴k＝ | ∈(－∞，－ | ]∪ | ， | |
∴α∈ | ∪ | . | . | |
综上可知，直线AB 的倾斜角α∈ | ||||
11．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：
(1)△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．
解析：(1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．
因为线段AB、AC中点坐标为 ， ，
所以这条直线的方程为 ＝ ，整理得6x－8y－13＝0，
化为截距式方程为 － ＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，
所以BC 边上的中线方程为 | ＝ | ， |
即7x－y－11＝0，
化为截距式方程为 | － | ＝1. |
12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解析：(1)方法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
方法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k
－y0＋1＝0恒成立，
所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，
故直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则
解得k的取值范围是k≥0.
(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－
∴A ，B(0,1＋2k)，
又－＜0 且1＋2k＞0，∴k＞0，
故S＝|OA||OB|＝× (1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4.
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号，
，在y轴上的截距为1＋2k，
故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x－2y＋4＝0.
自助餐·选做题
1．已知直线l：ax＋y＋a－1＝0不经过第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析：由ax＋y＋a－1＝0，得a(x＋1)＋y－1＝0，
故直线l过定点(－1,1)，又直线l的斜率存在，故其倾斜角不等于.
当直线为第二、四象限角的平分线时，其倾斜角为
可知，直线l 倾斜角的取值范围是 .
答案：C
，直线不经过第一象限，结合图形
2．已知直线x＝2 及x＝4 与函数y＝log2x 图像的交点分别为A、B，与函数y＝lgx 图像的交点分别为C、D，则直线AB 与CD()
A．相交，且交点在第Ⅰ象限
B．相交，且交点在第Ⅱ象限
C．相交，且交点在第Ⅳ象限
D．相交，且交点在坐标原点
解析：易知A(2,1)，B(4,2)，原点O(0,0)，
∴kOA＝kOB＝.∴直线AB 过原点．
同理C(2，lg2)，D(4,2lg2)，kOC＝kOD＝ ≠.
∴直线CD 过原点，且与AB 相交，故选D.
答案：D
3．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A 在直线mx＋ny＋1＝0
上，其中mn＞0，则＋的最小值为__________．
解析：由题意知，点A(－2，－1)．
∴2m＋n＝1，∴＋＝ | (2m＋n)＝4＋＋ | ≥4＋4＝8(当且仅当m＝，n＝时 |
取“＝”).
答案：8
4．如果直线l经过点P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S.当S＝4时，这样的直线l有__________条．
解析：设直线方程为＋＝1，
因为直线经过点P(2,1)，故有＋＝1，b＝ .
当S＝4时，S＝|ab|＝|a· |＝4，
有 ＝±8，即a2－8a＋16＝0或a2＋8a－16＝0.
前一个方程Δ＝0，有一个解，后一个方程Δ＞0，有两个不等的解，且这三个解互不相
同，所以这样的直线共有3条.
答案：3
Copyright © 2019- huatuo6.cn 版权所有 赣ICP备2024042791号-9
违法及侵权请联系：TEL:199 18 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务