2013高三数学总复习：4-6简单的三角恒等变换（Word有详解答案）

对应学生书P237

一、选择题

A．－ B.C．－ D.

∴sinα＋cosα＝.

答案：B

＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|.

∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.

答案：D[
3．函数f(x)＝sin4x＋2sinxcosx＋cos4x的最小值是()

解析：f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＋2sinxcosx＝－2sin2xcos2x＋2sinxcosx＋1

＝－(sin2x)2＋sin2x＋1

＝－(sin2x－1)2＋，

∴当sin2x＝－1时，f(x)min＝－.

答案：C

4．关于函数y＝sin2x－ cos2x图像的对称性，下列说法正确的是()

A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称

当x＝时，y不取最值也不等于零，A、C错．

当x＝时，y＝0，

∴该函数图像关于点 对称，D正确.

答案：D

5．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x，x∈R，则f(x)是()

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为的偶函数[来源:学科网ZXXK]

解析：∵f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x

＝(1＋cos2x) ＝(1－cos22x)

＝

＝－cos4x，

∴f(x)的最小正周期为，是偶函数.

答案：D

6．tan70°·cos10°(tan20°－1)等于()

A．1 B．2 C．－1 D．－2

解析：tan70°·cos10°( tan20°－1)

答案：C

二、填空题

答案：2

8．(2011·镇江模拟)已知函数f(x)＝sin2ωx＋ sinωxcosωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝

，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为__________．

解析：f(x)＝ ＋ sin2ωx＝＋sin ，

由题意知，f(x)的个周期为π，

f(2009)＝__________.

又f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＋f(2009)

＝f(1)＋251×0＝2×sin＝ .

答案：

三、解答题

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值.

解析：(1)f(x)＝2cosxcos(x－)－sin2x＋sinxcosx

＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx

＝cos2x＋sin2x＝2sin ，

∴T＝π.

(2)由f(α)＝1，得sin(2α＋)＝.

(1)求f(x)的最大值和最小值；

∴f(x)max＝3，f(x)max＝2.

(2)∵|f(x)－m|＜2?f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈ ，

∴m＞f(x)max－2，且m＜f(x)min＋2，

∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4).

12．已知向量a＝(1－tanx,1)，b＝(1＋sin2x＋cos2x,0)，记f(x)＝a·b.

(1)求函数f(x)的解析式并指出它的定义域；

解析：(1)f(x)＝a·b
＝(1－tanx,1)·(1＋sin2x＋cos2x,0)
＝(1－tanx)(1＋sin2x＋cos2x)

＝(1－ )(1＋cos2x＋sin2x)

＝(2cos2x＋2sinxcosx)[

＝2(cosx－sinx)(cosx＋sinx)
＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.

由cosx≠0，得x≠kπ＋，k∈Z，

所以f(x)＝2cos2x，其定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．

所以f(α)＝2cos2α＝2cos

＝＋＝.

故f(α)＝.

自助餐·选做题

解析：依题设，得sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝ .

∵0＜β＜α＜，∴cos(α－β)＝ .

又∵cosα＝，∴sinα＝ .

sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)

∴β＝.

答案：D

2．当0＜x＜时，函数f(x)＝ 的最小值为()

A．2 B．2 C．4 D．4

解析：f(x)＝ ＝ ＝ ＋ ≥2 ＝4，当且仅

当 ＝ ，即tanx＝±时，取等号．∵0＜x＜，∴存在x使tanx＝，这时f(x)min＝4.

答案：C

＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为()

A．a＞b＞d＞c B．b＞a＞d＞c
C．d＞a＞b＞cD．c＞a＞d＞b
解析：a＝sin(56°－45°)＝sin11°，
b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，