对应学生书P239
一、选择题
＝2 | 1．(2010·天津)在△ABC 中，内角A、B、C 的对边分别是a、b、c.若a2－b2＝ | bc，sinC |
sinB，则A＝() |
A．30°B．60°C．120°D．150°
解析：由sinC＝2 | sinB，根据正弦定理，得c＝2 | b，把它代入a2－b2＝ | bc，得a2 |
－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，得
cosA＝ | ＝ | ＝ | ＝ | . |
又∵0°＜A＜180°，∴A＝30°.
答案：A
2．(2009·福建)已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为()
A．75° B．60° C．45°D．30°
解析：S△ABC＝×3×4sinC＝3 ，∴sinC＝ .
∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.
答案：B
3．(2009·广东)已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝ ＋
，且∠A＝75°，则b等于()
A．2 | B．4＋2 | C．4－2 | D. | － |
解析：如图所示．
在△ABC中，由正弦定理，得
＝ | ＝ | ＝4， |
∴b＝2.
答案：A
源:Zxxk.Com]
4．(2011·滨州质检)△ABC中，AB＝ ，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()[来
A.B. C. 或 D. 或
解析： ＝，∴sinC＝ .∴C＝60°或120°.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝ ；
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝× ×1×sin30°＝ .故选D.
答案：D
5．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若ccosB＝bcosC，且cosA＝，
则sinB 等于()
A．± | B. | C．± | D. |
解析：∵ccosB＝bcosC，[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∴由正弦定理，得sinCcosB＝sinBcosC，
∴sin(C－B)＝0，∴C＝B.[来源:学科网]
由cosA＝，得cos(π－A)＝cos(B＋C)＝cos2B＝－.
∴1－2sin2B＝－，
∴sin2B＝，∴sinB＝ .
答案：D
6．在△ABC 中，a＝，b＝ ，sinB＝ ，则符合条件的三角形有()
A．1 个B．2 个 C．3 个 D．0 个
解析：∵asinB＝ ，∴asinB＜b＝ ＜a＝ ，
∴符合条件的三角形有2个.
答案：B
二、填空题
7．(2011·南京模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝5，b＝
7，cosC＝，则角A的大小为__________．
解析：∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋72－2×5×7×＝18，
∴cosA＝ | ＝ | ＝ | ＝ | . |
又A∈(0，π)，∴A＝.
答案：
8．(2011·沈阳模拟)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2＋c2＝a2＋
bc，且 | · | ＝4，则△ABC 的面积等于__________． |
解析：∵b2＋c2＝a2＋bc，
∴cosA＝ ＝，∴A＝.
又 ·＝4，∴b·c·cosA＝4，∴bc＝8，
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×sin＝2 .
答案：2
9．(2011·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B
在椭圆＋＝1上，则 的值为__________．
解析：设△ABC的三边为a、b、c，
由题意，得b＝AC＝2，a＋c＝BC＋AB＝4，
∴由正弦定理，得 | ＝ | ＝＝2. |
答案：2
三、解答题
10．(2010·天津)在△ABC 中， | ＝ | . |
(1)求证：B＝C；
(2)若cosA＝－，求sin | 的值． | ＝ | . |
解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 | |||
于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.
因为－π＜B－C＜π，从而B－C＝0，所以B＝C.
(2)由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，
故cos2B＝－cos(π－2B)＝－cosA＝.
又0＜2B＜π，于是sin2B＝ | ， | ＝ | . |
从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝ |
cos4B＝cos22B－sin22B＝－.
故sin | ＝sin4Bcos ＋cos4Bsin ＝ | . |
11．(2010·浙江)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos2C＝－
.
(1)求sinC的值；
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．
解析：(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－，0＜C＜π，
∴sinC＝ .
(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理 ＝ ，得c＝4.
由cos2C＝2cos2C－1＝－及0＜C＜π，得cosC＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，
得b2± | b－12＝0(b＞0)，解得b＝ | 或2 | . |
∴ | 或 |
12．(2010·辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)求sinB＋sinC的最大值．
解析：(1)由已知，根据正弦定理，得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c.
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.
所以cosA＝－，故A＝120°.
(2)由(1)得，sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝故当B＝30°时，sinB＋sinC 取得最大值1.
cosB＋sinB＝sin(60°＋B)．
自助餐·选做题
1．(2010·安徽)设△ABC 是锐角三角形，a、b、c 分别是内角A、B、C 所对边长，并且
sin2A＝sin | sin | ＋sin2B. |
(1)求角A 的值；
(2)若 | · | ＝12，a＝2 | ，求b、c(其中b＜c)．[来源:Z#xx#k.Com] |
解析：(1)因为sin2A＝
＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝，
所以sinA＝± .又A 为锐角，故A＝.
(2)由· ＝12，可得cbcosA＝12.①
由(1)知，A＝，从而cb＝24.②
由余弦定理知，a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝2③＋②×2，得(c＋b)2＝100，于是c＋b＝10.
及①代入，得c2＋b2＝52.③
因此c、b 是一元二次方程t2－10t＋24＝0 的两个根，解此方程并由c＞b 知，c＝6，b＝4.
2．(2010·全国Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD＝33，sinB＝ ，cos∠ADC＝，
求AD.
解析：由cos∠ADC＝＞0知，B＜，
由已知，得cosB＝ ，sin∠ADC＝，
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝× | －× | ＝ | . | ＝25. |
由正弦定理，得 | ＝ | |||
所以AD＝ | ＝ | |||
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