2013高三数学总复习3-3导数的实际应用

1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()

A.

B.

C.

D．2

[答案]C

(理)在内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长

为()

A. 和R

B.

R 和

R

C. R 和R
[答案]B

[解析]设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2

，则l＝2x＋4 (0＜x＜R)，

l′＝2－ ，令l′＝0，解得x＝R.

当0＜x＜ R 时，l′＞0；当 R＜x＜R 时，l′＜0.

所以当x＝ R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为

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R， R.

2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万

件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大

年利润的年产量为()

A．13 万件 B．11 万件

C．9 万件 D．7 万件

[答案]C

[解析]∵y＝－x3＋81x－234，

∴y′＝－x2＋81(x>0)．

令y′＝0 得x＝9，令y′<0 得x>9，令y′>0 得0<x<9，

∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，

∴当x＝9 时，函数取得最大值．故选C.

[点评]利用导数求函数最值时，令y′＝0 得到x 的值，此x 的

值不一定是极大(小)值时，还要判定x 值左右两边的导数的符号才能

确定．

3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面

积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低

时，锅炉的底面直径与高的比为()

A.B. C.D.

[答案]C

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[解析]

如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.

设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb· ＝2πaR2＋

，

∴y′＝4πaR－.

令y′＝0 并将V＝πR2h 代入解得，＝.

(理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为

()
A. B.

C. D．3π·[答案]C

[解析]设圆柱底面半径为r，高为h，∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝ ，

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又V＝πr2h＝ ，则V′＝ ，令V′＝0，

得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝ .

4．某公司生产某种产品，固定成本为20000 元，每生产一单位

产品，成本增加100 元，已知总收益R 与产量x 的关系是R＝

则总利润最大时，每年生产的产品是() A．100 B．150 C．200 D．300 [答案]D

[解析]由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R

－C＝

P′＝

令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300 时，总利润最大．

5．(文)内接于半径为R 的球并且体积最大的圆锥的高为() A．R B．2R

C. R D. R

[答案]C

[解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴

r2＝2Rh－h2，

∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，

V′＝πRh－πh2，令V′＝0 得h＝R.

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(理)要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最

大，则高为()

A.	cm	B.	cm
C.	cm	D.	cm

[答案]D

[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为 ，

其体积为V＝πx(400－x2)(0＜x＜20)，

V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝ .

当0＜x＜ 时，V′＞0；当＜x＜20 时，V′＜0，

所以当x＝ 时，V 取最大值．

6．(2012·保定模拟)定义域为R 的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)

的导函数f′(x)> ，则满足2f(x)<x＋1 的x 的集合为()

A．{x|－1<x<1} B．{x|x<1}

C．{x|x<－1 或x>1} D．{x|x>1}

[答案]B

[解析]令g(x)＝2f(x)－x－1，

∵f′(x)> ，∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝

1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，

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∴当x<1 时，g(x)<0，即2f(x)<x＋1，故选B.

7．(文)用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2?1，该长方体的最大体积是________．

[答案]3m3

[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为－3x(0<x<2)，

故体积为V＝2x2 ＝－6x3＋9x2，

V′＝－18x2＋18x，令V′＝0 得，x＝0 或1，

∵0<x<2，∴x＝1.

∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m 时，体积最大，最

大体积Vmax＝3m3.

(理)用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为________．

[答案]1.2m

[解析]设容器的短边长为xm，

则另一边长为(x＋0.5)m，

高为 ＝3.2－2x.

由3.2－2x>0 和x>0，得0<x<1.6，

设容器的容积为ym3，

则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，

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整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，
∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，
令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，

解得x1＝1，x2＝－ (不合题意，舍去)，

∴高＝3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8.

8．(文)(2011·北京模拟)若函数f(x)＝lnx－ax2－2x 存在单调递减

区间，则实数a 的取值范围是________．

[答案](－1，＋∞)
[分析]函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)<0 有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)<0 在(0，＋∞)上有实数解时a 的取值范围．

[解析]解法1：f′(x)＝－ax－2＝ ，由题意知f

′(x)<0 有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0 有实数解．当a≥0 时，显然满足；当a<0 时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，综上知a>－1.

解法2：f′(x)＝－ax－2＝ ，

由题意可知f′(x)<0 在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax2－2x<0 在(0，＋∞)内有实数解．

即a> －在(0，＋∞)内有实数解．

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∵x∈(0，＋∞)时，－＝( －1)2－1≥－1，∴a>－1.

(理)(2011～2012·黄冈市期末)对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋

d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)

的导数，若方程f″(x)＝0 有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)