一质点在xoy平面内运动，运动方程为x=3t^2，y=t^4+1

在xoy平面内，一质点的运动轨迹遵循特定的运动方程：x=3t²，y=t⁴+1。这意味着质点在任意时刻t的位置可以由这两个方程确定。

当时间t=0时，根据给定的运动方程，质点的初始位置为（0，1）。随着t的增加，质点在x轴和y轴上的坐标也相应地发生变化。

对于任意时刻t，质点的位置为（3t²，t⁴+1）。由此，我们可以通过这两个坐标值计算质点在不同时间点的位移。

要计算质点在t到t+Δt这段时间内的位移，我们可以利用两点间距离公式。具体来说，当t=t时，质点的坐标为（3t²，t⁴+1）；而当t=t+Δt时，质点的坐标为（3(t+Δt)²，(t+Δt)⁴+1）。

因此，位移的计算公式为：

√[(3t²)²+(t⁴+1-(t+Δt)⁴-1)²] =√(9t⁴+(t⁴+1-(t+Δt)^4</sup))2

简化后得到：

√(9t⁴+(t⁴+1-(t+Δt)^{4</sup))2 =t2√(9+t4)}

这个公式描述了质点从t时刻到t+Δt时刻之间位移的变化规律。通过这个公式，我们可以进一步分析质点在不同时间段内的运动特性。

此外，上述公式中的根号内项展示了位移与时间的关系，其中t²表示位移随时间的平方增长，而√(9+t⁴)部分则反映了x和y坐标变化对位移的影响。

通过这个数学模型，我们不仅能够精确描述质点的运动轨迹，还能深入理解其在不同时间点上的位移变化规律。